Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2023 - 2024 sở GDĐT Hà Nội

LỜI GIẢI ĐỀTHI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 THÀNH PHỐHÀ NỘI 2024

Võ Quốc Bá Cẩn – Nguyễn Lê Phước – Nguyễn Tiến Dũng – Trần Đức Hiếu Trần Quang Độ– Phan Quang Linh – Phạm Duy Nguyên Lâm

1. Đềthi

Bài 1 (5.0 điểm). d

a) Giải phương trình 7x C 3 D .2x C 3/ p

x C 3:

b) Cho ba sốthực x; y; z thỏa mãn xyCyzCzx D0 và xC2yC3z D0: Tính giá trịcủa biểu thức

P D x2 C y2 C z2:

Bài 2 (5.0 điểm). d

a) Cho ba sốnguyên a; b; c thỏa mãn a C b C c và ab C bc C ca đều chia hết cho 8: Chứng minh rằng abc chia hết cho 64:

b) Chứng minh rằng không tồn tại các sốnguyên x; y lớn hơn 1 sao cho .x C y/.y C 1/ 1 chia hết cho x2 C xy C 1:

Bài 3 (2.0 điểm). Cho các sốthực dương a; b; c thỏa mãn a C b C c D 3abc: Chứng minh rằng

ab 3c C ab C abc C bc 3a C bc C abc C ca 3b C ca C abc 3

5:

Bài 4 (6.0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn .O/; có H là trực tâm. Gọi O0 là điểm đối xứng với điểm O qua đường thẳng BC: Đường thẳng đi qua điểm H vuông góc với đường thẳng HO0 cắt các đường thẳng AB và AC theo thứtựtại M; N: Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN:

a) Chứng minh rằng O0 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC:

b) Chứng minh rằng ba điểm A; H; I thẳng hàng.

c) Gọi P là giao điểm thứhai của đường thẳng AH và đường tròn .O/I Q là giao điểm của hai đường thẳng OP và BC: Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường tròn .O/ tại điểm thứhai R: Chứng minh rằng đường thẳng QR song song với đường thẳng OI:

Bài 5 (2.0 điểm). d

a) Tìm tất cảcác sốnguyên dương a; b; c thỏa mãn

a4 C 6a2 C 2b D c2:

b) Xét sốnguyên n > 100 thỏa mãn tồn tại tập hợp S gồm n sốthực dương sao cho với mỗi phần tử x của tập S đều tồn tại 100 phần tửkhác x của tập S có tích bằng x: Hỏi, n nhỏnhất bằng nhiêu?

1

2 Lời giải đềthi học sinh giỏi Toán 9 thành phốHà Nội 2024

2. Lời giải và bình luận các bài toán

Bài 1 (5.0 điểm). d

a) Giải phương trình 7x C 3 D .2x C 3/ p

x C 3:

b) Cho ba sốthực x; y; z thỏa mãn xyCyzCzx D0 và xC2yC3z D0: Tính giá trịcủa biểu thức

P D x2 C y2 C z2:

Lời giải. a) Điều kiện: x 3: Từphương trình, ta có .7x C 3/2 D .2x C 3/2.x C 3/; hay .x 1/.x 6/.4x C 3/ D 0: Từđó x 2 ˚ 1; 6; 3

4 : Tuy nhiên, khi thửlại, chỉcó x D 1 và x D 6 thỏa mãn. Vậy, tập nghiệm của phương trình là S D f1; 6g:

b) Do x C2y C3z D 0 nên x D 2y 3z: Mà xy Cyz Czx D 0 nên .y Cz/.2y C3z/Cyz D 0; hay 2y2 C 4yz C 3z2 D 0: Một cách tương đương, ta có 2.y C z/2 C z2 D 0: Suy ra y C z D z D 0; tức y D z D 0: Từđó x D 0: Vậy P D x2 C y2 C z2 D 0:

Bài 2 (5.0 điểm). d

a) Cho ba sốnguyên a; b; c thỏa mãn a C b C c và ab C bc C ca đều chia hết cho 8: Chứng minh rằng abc chia hết cho 64:

b) Chứng minh rằng không tồn tại các sốnguyên x; y lớn hơn 1 sao cho .x C y/.y C 1/ 1 chia hết cho x2 C xy C 1:

Lời giải. a) Trong ba sốa; b; c có hai sốcùng tính chẵn lẻ. Không mất tính tổng quát, giảsửlà a và b; suy ra a C b chia hết cho 2: Mà a C b C c chia hết cho 8 nên c chẵn. Từđó c.a C b/ chia hết cho 4: Mà ab C bc C ca chia hết cho 8 nên ab chia hết cho 4: Kết hợp với a; b cùng tính chẵn lẻ, ta suy ra a; b cùng chẵn.

Đặt a D 2x; b D 2y; c D 2z với x; y; z nguyên. Từgiảthiết, ta suy ra x C y C z chia hết cho 4 và xy C yz C zx chia hết cho 2: Chứng minh tương tựnhư trên, ta có x; y; z cùng chẵn. Suy ra a; b; c cùng chia hết cho 4: Từđó abc chia hết cho 64: Ta có điều phải chứng minh.

b) Giảsửtồn tại hai sốnguyên x; y lớn hơn 1 sao cho .x C y/.y C 1/ 1 chia hết cho x2 C xy C 1: Khi đó .x C y/.y C 1/ 1 C .x2 C xy C 1/ D .x C y/.x C y C 1/ chia hết cho x2 C xy C 1: Mà x C y và x2 C xy C 1 nguyên tốcùng nhau nên x C y C 1 chia hết cho x2 C xy C 1; mâu thuẫn vì x2 C xy C 1 > x C y C 1 > 0: Vậy, không tồn tại hai sốnguyên x; y lớn hơn 1 sao cho .x C y/.y C 1/ 1 chia hết cho x2 C xy C 1:

Bài 3 (2.0 điểm). Cho các sốthực dương a; b; c thỏa mãn a C b C c D 3abc: Chứng minh rằng

ab 3c C ab C abc C bc 3a C bc C abc C ca 3b C ca C abc 3

5:

Lời giải. Đặt x D 1

a; y D 1

b và z D 1

c; khi đó từgiảthiết, ta có xy C yz C zx D 3: Bất đẳng thức cần chứng minh có thểviết được lại …