Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 9 năm 2023 - 2024 sở GDĐT Bắc Ninh

Gợi ý đềthi HSG toán 9 Tỉnh Bắc Ninh 2023-2024 1 Trang

HỌC SINH GIỎI TỈNH 9 - BN 2023-2024

BÀI 1 (4,0 điểm)

1. Rút gọn P = √a + √

b −1 a + √

ab + √a − √

b 2 √

ab

Ç √

b a − √

ab +

√

b a + √

ab

å

với a, b > 0; a ̸= b.

2. Phương trình x2 −3x −5 = 0 có hai nghiệm là x1, x2. Đặt g(x) = x2 −4. Tính giá trịcủa biểu thức T = g(x1).g(x2).

Ê Lời giải.

1. Với a, b > 0; a ̸= b, ta có

P = √a + √

b −1 a + √

ab + √a − √

b 2 √

ab

Ç √

b a − √

ab +

√

b a + √

ab

å

= √a + √

b −1 √a Ä√a + √

b ä + √a − √

b 2 √

ab ·

√

b Ä√a + √

b ä + √

b Ä√a − √

b ä

√a Ä√a − √

b ä Ä√a + √

b ä

= √a + √

b −1 √a Ä√a + √

b ä + √a − √

b 2 √

ab · 2 √

ab √a Ä√a − √

b ä Ä√a + √

b ä

= √a + √

b −1 √a Ä√a + √

b ä + 1 √a Ä√a + √

b ä

= √a + √

b √a Ä√a + √

b ä

= 1 √a

Vậy P = 1 √a với a, b > 0; a ̸= b.

2. Vì phương trình x2 −3x −5 = 0 có hai nghiệm là x1, x2 nên

® x2 1 −3x1 −5 = 0 x2 2 −3x2 −5 = 0 ⇒

® x2 1 −4 = 3x1 + 1 x2 2 −4 = 3x2 + 1

đồng thời theo Vi-et ta có

® x1 + x2 = 3 x2x2 = −5 . Từđó

g(x1)g(x2) = (x2 1 −4)(x2 2 −4) = (3x1 + 1)(3x2 + 1) = 3(x1 + x2) + 9x1x2 + 1 = 3.3 + 9.(−5) + 1 = −35

Vậy g(x1)g(x2) = −35.

□

™ Học, học nữa, học mãi DUCPV h

THCS Nguyễn Cao Trang 2

BÀI 2 (4,0 điểm)

1. Giải phương trình √3x −5 + √7 −3x = 9x2 −36x + 38.

2. Giải hệphương trình

® x(x + y) + √x + y = √2y Äp

2y3 + 1 ä

x2y −5x2 + 7(x + y) −4 = 6 3√xy −x + 1 .

Ê Lời giải.

1. Xét phương trình √3x −5 + √7 −3x = 9x2 −36x + 38 (1). Điều kiện 5

3 ≤x ≤7

3.

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có

V T 2 (1) = Ä√

3x −5 + √

7 −3x ä2 ≤2(3x −5 + 7 −3x) = 4 ⇒V T(1) ≤2

Mặt khác V P(1) = 9x2 −36x + 38 = 9(x −2)2 + 2 ≥2. Do đó

(1) ⇔V T(1) = V P(1) = 2 ⇔

đ√3x −5 = √7 −3x (x −2)2 = 0 ⇔x = 2 (thỏa mãn ĐK).

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 2.

2. Xét hệ(I)

® x(x + y) + √x + y = √2y Äp

2y3 + 1 ä (i)

x2y −5x2 + 7(x + y) −4 = 6 3√xy −x + 1 (ii) . Điều kiện

® y ≥0 x + y ≥0 (∗).

Đầu tiên, ta thấy rằng x = y = 0 không thỏa mãn (i). Khi x, y không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn (∗), ta có

(i) ⇔(√x + y − p

2y) + x(x + y) −2y2 = 0

⇔ x + y −2y √x + y + √2y + (x −y)(x + 2y) = 0

⇔(x −y) · Å 1 √x + y + √2y + x + 2y ã

| {z } >0

= 0

⇔x −y = 0 hay x = y.

Thay vào (ii), ta có

x3 −5x2 + 14x −4 = 6 3√

x2 −x + 1

⇔x3 −5x2 + 11x −7 = 3 î 2 3√

x2 −x + 1 −(x + 1) ó

⇔x3 −5x2 + 11x −7 = 3 · 8(x2 −x + 1) −(x + 1)3

4 3p

(x2 −x + 1)2 + 2(x + 1) 3√

x2 −x + 1 + (x + 1)2

⇔x3 −5x2 + 11x −7 = 3 · −(x3 −5x2 + 11x −7) 4 3p

(x2 −x + 1)2 + 2(x + 1) 3√

x2 −x + 1 + (x + 1)2

⇔(x3 −5x2 + 11x −7)

ñ

1 + 3 4 3p

(x2 −x + 1)2 + 2(x + 1) 3√

x2 −x + 1 + (x + 1)2

ô

| {z } >0 do x ≥0

= 0

⇔x3 −5x2 + 11x −7 = 0 ⇔(x −1) (x −2)2 + 3 = 0

⇔x = 1 (thỏa mãn) ⇒y = 1

Vậy hệphương trình (I) có nghiệm duy nhất là (x; y) = (1; 1).

™ Học, học nữa, học mãi DUCPV h

Gợi ý đềthi HSG toán 9 Tỉnh Bắc Ninh 2023-2024 3 Trang

□

BÀI 3 (3,0 điểm)

1. Tìm các sốtựnhiên x, y thỏa mãn x2 = 9y2 + 6y + 16.

2. Cho a, b, c là các sốnguyên dương thỏa mãn a−b là sốnguyên tốvà 3c2 = ab+bc+ca. Chứng minh 8c + 1 là sốchính phương.

Ê Lời giải.

1. Ta có

x2 = 9y2 + 6y + 16 ⇔x2 −(3y + 1)2 = 15 ⇔(x + 3y + 1)(x −3y −1) = 15 (∗)

Vì x, y ∈N nên

  

 

x + 3y + 1, x −3y −1 ∈Z x + 3y + 1 ≥1 (x + 3y + 1) −(x −3y −1) = 6y + 2 ≥2 , do đó từ(∗) suy ra

® x + 3y + 1 = 15 x −3y −1 = 1 hoặc

® x + 3y + 1 = 5 x −3y −1 = 3 .

ˆ Với

® x + 3y + 1 = 15 x −3y −1 = 1 , giải ra được x = 8 và y = 2 (thỏa mãn).

ˆ Với

® x + 3y + 1 = 5 x −3y −1 = 3 , giải ra được x = 4 và y = 0 (thỏa mãn).

Vậy các cặp sốtựnhiên (x; y) thỏa mãn yêu cầu là (x; y) ∈{(8; 2), (4; 0)}.

2. Ta có

3c2 = ab + bc + ca ⇔4c2 = ab + bc + ca + c2 ⇔(2c)2 = (a + c)(b + c) (∗∗)

Gọi (a + c, b + c) = d. Khi đó a −b = (a + c) −(b + c) ... d, mà a −b là sốnguyên tốnên d = 1 hoặc d = a −b.

ˆ Nếu d = 1 thì từ(∗∗) suy ra

® a + c = x2

b + c = y2 (x, y ∈N∗; xy = 2c; x > y). Lúc này

(x −y)(x + y) = x2 −y2 = a −b là sốnguyên tố⇒

® x −y = 1 x + y = a −b ⇒

  

 

x = a −b + 1

2 y = a −b −1

2

Từđó 2c = xy = a −b + …