Đề khảo sát HSG Toán 9 lần 1 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Bình Xuyên - Vĩnh Phúc

PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN

HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2023 -2024

MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (2,0 điểm). Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ( ) ( ) 1 2 , d d có phương trình

( ) ( ) 2 1 2 : 3; : 2 18 d y x d y x m m = + = − + + − (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để

hai đường thẳng ( ) ( ) 1 2 , d d cắt nhau tại một điểm thuộc trục hoành Ox .

Câu 2. (2,0 điểm). Cho ba số thực , , 0 a b c ≠ thỏa mãn a b c b c a b c a a b c + + = + + . Tính giá trị biểu thức

a b c P a b b c c a = + + + + + .

Câu 3. (2,0 điểm). Cho đa thức ( ) 2025 2024 2024 2025 1 p x x x = − + . Biết ( ) ( ) ( ) 2 1 . p x x q x = − với

( ) q x là đa thức. Tính giá trị ( )1 q .

Câu 4. (2,0 điểm). Giải phương trình: ( )

3 3 2 9 6 2 3 2 0 x x x x − + + − = .

Câu 5. (2,0 điểm). Giải hệ phương trình ( )

( )( )

2

2 2 3 5 2

2

y x x y x y

x y x y xy x y

 − + + = −  + + + = + 

Câu 6. (4,0 điểm). Cho hình thang ABCD vuông ở đỉnh A và đỉnh B thỏa mãn 2 2 AD AB BC = = . Gọi H chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. a) Chứng minh BHC BCD ∆ ∆  và tính độ dài CH khi độ dài 4cm AB = . b) Gọi M là trung điểm của HD. Đường thẳng AM và BC cắt nhau tại điểm E. Chứng minh

. . EC EB EM EA = . Câu 7. (2,0 điểm). Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB, AD lần lượt lấy các điểm M, N thỏa mãn

AM DN = . Kẻ CH vuông góc MN (H thuộc MN), đường thẳng qua M vuông góc với AB cắt CH tại P. Chứng minh ba điểm , , D B P thẳng hàng.

Câu 8 (2,0 điểm). Khi kí hợp đồng làm việc thời hạn 5 năm với người lao động được tuyển dụng mới, một công ty đưa ra ba phương án trả lương như sau: Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu đồng, kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương tăng thêm 22 triệu so với năm trước. Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 30 triệu đồng, kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tăng 1,5 triệu đồng so với quí trước(mỗi quí được tính bừng 3 tháng). Phương án 3: Tháng thứ nhất, tiền lương là 6 triệu đồng, kể từ tháng thứ 2 trở đi, mỗi tháng tăng 300 nghìn đồng so với tháng trước. Nếu là người lao động được tuyển dụng, em sẽ chọn phương án nào để khi kết thúc hợp đồng, tổng số tiền lương thu được là nhiều nhất? Câu 9. (2,0 điểm). Cho 3 số thực không âm , , a b c thỏa mãn 3 a b c + + = . Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức 3 3 3 L a b c = + + .

----- HẾT------ - Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! -Họ và tên thí sinh:............................................................ Số báo danh:...........................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN BÌNH XUYÊN

ĐÁP ÁN KSCL ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9

NĂM HỌC 2023-2024

MÔN: TOÁN Câu 1. (2,0 điểm)Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ( ) ( ) 1 2 , d d có phương trình

( ) ( ) 2 1 2 : 3; : 2 18 d y x d y x m m = + = − + + − (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để

hai đường thẳng ( ) ( ) 1 2 , d d cắt nhau tại một điểm thuộc trục hoành Ox .

Nội dung Điểm

Tọa độ giao điểm A của ( ) ( ) 1 2 , d d là nghiệm của hệ 2 3

2 18

y x

y x m m

= +   = − + + − 

0,5

2

2 2

2

21 21 12 3 ; 3 3 12 3

m m x m m m m A m m y

 + − =    + − + −  ⇔ ⇒    + −    = 

0,5

Để điểm A thuộc Ox thì tung độ điểm A bằng 0

2 3 12 0 4 3

m m m m

=  + − ⇒ = ⇔ = − 

0,5

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn là

3, 4 m m = = −

0,5

Câu 2 (2,0 điểm). Cho ba số thực , , 0 a b c ≠ thỏa mãn a b c b c a b c a a b c + + = + + . Tính giá trị biểu thức

a b c P a b b c c a = + + + + + .

Nội dung Điể

m

Đặt , , b c a x y z a b c = = = Ta có 1 xyz =

và 1 1 1 a b c b c a x y z x y z xy yz zx b c a a b c x y z + + = + + ⇔ + + = + + ⇒ + + = + +

0,5

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y y z z x a b c P a b b c c a x y z x y z + + + + + + + + = + + = + + = + + + + + + + + +

0,5

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 2 3 2

1 2

x y z xy yz zx x y z xy yz zx

x y z xy yz zx xyz x y z xy yz zx

+ …