Đề thi HSG Toán THCS năm 2023 - 2024 trường THTHCS Tây Tiến - Sơn La

ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THCS NĂM HỌC 2023 - 2024

CỤM CÁC TRƯỜNG TRÊN ĐỊA BÀN THỊ TRẤN MỘC CHÂU

Môn Thi: TOÁN. Ngày thi: 16.11.2023 (Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề)

( Đề gồm 01 trang ) Bài 1.(5 điểm)

1) Cho biểu thức: 2 2 2 ( 1)( 2 ) x x P

x x x x x x x + = + + − + − +

a) Rút gọn P . b) Tính P khi 3 2 2 x = + . c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. 2) Cho hàm số y = mx - 2m -1 ( m  0 ) a) Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định. b) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số với các trục Ox , Oy. Xác định m để diện tích tam giác AOB bằng 4 ( đvdt ) Bài 2.(3 điểm)

a) Tìm các số nguyên ;x y thỏa mãn: 2 y + 2xy - 3x - 2 = 0 b) Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 2n + 12 là số chính phương Bài 3.(4 điểm)

a) Giải phương trình: x2 + 2022x - 2021 = 2 2024x - 2023

b) Giải hệ phương trình:

3 3 3 x y z 6

x y z 3xyz

+ + =  + + = 

Bài 4. (6 điểm)

Cho AB là đường kính của đường tròn (O; R). C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) tại M.

a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O; R). c) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R. Bài 5.(2 điểm)

Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

2 2 2 x y z y z z x x y + + + + + -------------------Hết-----------------

UBND HUYỆN MỘC CHÂU TRƯỜNG TH&THCS TÂY TIẾN

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THCS NĂM HỌC 2023 - 2024

CỤM CÁC TRƯỜNG TRÊN ĐỊA BÀN THỊ TRẤN MỘC CHÂU

(Gồm 5 trang)

Bài Nội dung Điểm 1 (5đ)

1. a) Với x > 0; x 1 , ta có:

x 2 x 2 P

x( x 1) x( x 2) x( x 1)( x 2)

x( x 2) 2( x 1) x 2 x x 2x 2 x 2 x 2 x( x 1)( x 2) x( x 1)( x 2)

x x 2x 2 x x x( x 1)( x 2) x 1 x( x 1)( x 2) x( x 1)( x 2) x 1

+ = + + − + − +

+ + − + + + + − + + = = − + − +

+ + + + + + = = = − + − + −

1. 2 b) x = 3+ 2 2 x = 2 + 2 2 +1 = ( 2 +1) = 2 +1 

( x 1) 2 1 1 2 2 2(1 2) P 1 2 ( x 1) 2 1 1 2 2 + + + + + = = = = = + − + −

1.c) ĐK: x 0;x 1  :

x 1 x 1 2 2 P 1 x 1 x 1 x 1 + −+ = = = + − − −

Để P nhận giá trị nguyên thì x 1 − là ước của 2.

Ư(2)={-1; 1; -2; 2}

Nếu x 1 − = 1 x 2 x 4 (TM)  =  =

Nếu x 1 − = -1 x 0 x 0 (KTM)  =  =

Nếu x 1 − = 2 x 3 x 9 (TM)  =  =

Nếu x 1 − = -2 x 1  = −(Vô lí)

Vậy với 4 x = hoặc 9 x = thì P nhận giá trị nguyên

0,25

0,25

0,5

0,5

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

2.a) Giả sử đồ thị hàm số đi qua điểm M( x 0, y 0) với mọi m. Ta có: y 0 = mx 0- 2m - 1 với mọi m

mx 0- 2m - 1 - y 0 = 0 với mọi m

UBND HUYỆN MỘC CHÂU TRƯỜNG TH&THCS TÂY TIẾN

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

m (x 0- 2 ) - ( y 0 + 1) = 0 với mọi m  x 0 - 2 = 0  x 0 = 2 y 0 + 1 = 0 y 0 = -1 Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm cố định M (2 ; -1 ) 2.b) Đồ thị hàm số cắt hai trục Ox và Oy khi m 0 và - 2m - 10

Hay m 0 và m  1 2 −

A là giao điểm của đồ thị với trục Ox ta có y = 0 thay vào hàm số

ta được x = m m 1 2 +

B là giao điểm của đồ thị với trục Oy ta có x = 0 thay vào hàm số ta được y = -2m - 1

Vậy A ( m m 1 2 + ; 0) ; B (0; -2m-1 )

Diện tích tam giác là :

S = 2

1 OA . OB = 2

1 m m 1 2 + . 1 2 − −m = m m

2

)1 2 ( 2 +

Mà S = 4 ( 2m + 1 ) 2 = 8 m +) Nếu m > 0, ta có phương trình: 4m2 + 4m + 1 = 8m

(2m - 1) 2 = 0 2m - 1 = 0m = 2

1 (TM)

+) Nếu m < 0, ta có phương trình: 4m2 + 4m + 1 = - 8m

4m2 + 12m + 1 = 0

3 2 2 m (TM) 2 3 2 2 m (TM) 2

 −+ =   

 −− = 

Vậy m  { 1 3 2 2 3 2 2 ; ; 2 2 2 −+ −− }

0,5

0,5

0,5

0,5

2 (3đ)

( )

2

2 2 2

2

a) y 2xy 3x 2 0

x 2xy y x 3x 2

(x y) (x 1)(x 2) *

+ − − =

 + + = + +

 + = + +

VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên

liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0. 1 0 1 1 2 0 2 2 x x y x x y + = = − =       + = = − =  

Vậy có …