Đề học sinh giỏi Toán 9 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Bình Xuyên - Vĩnh Phúc

PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2023 - 2024

MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1. (4,0 điểm).

a) Cho biểu thức 1 2 1 : 1 1 1 1 x x x P x x x x x x x x x x

                       

. Rút gọn biểu thức P.

b) Cho biểu thức 4 3 2 2 2023 Q x x x     . Tính giá trị của biểu thức Q với 5 1 5 1 x  



.

Câu 2. (2,0 điểm). Cho ba số thực dương , , a b c thỏa mãn 2 2 2 4 a b c abc     . Chứng minh

         2 2 2 2 2 2 . 4 4 . 4 4 . 4 4 8 a b c b c a c a b abc          .

Câu 3. (2,0 điểm). Tìm tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn 4 3 2 2 2 2 1 n n n n     là số chính phương.

Câu 4. (2,0 điểm). Giải phương trình:

2 2 2 6 3 6 2 6 9 9 x x x x x x                    

.

Câu 5. (2,0 điểm). Chia đa thức 

2024 2023 2022 ... 1 p x x x x x      cho đa thức 

2 1 q x x   ta

được thương là đa thức  h x và phần dư là đa thức  r x . Tính  1 h  .

Câu 6. (2,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại   A AB AC  có đường cao   AH H BC  . Trên tia

HC lấy điểm D thỏa mãn HD HA  . Đường thẳng qua D song song với AH cắt AC tại E. Chứng

minh tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC và tính độ dài BC khi     6 cm , 2 cm AE EC   .

Câu 7. (2,0 điểm). Cho hình vuông ABCD, điểm N thuộc cạnh CD thỏa mãn 2 NC ND  . Gọi H là

giao điểm của AN với BD và M là trung điểm BC. Chứng minh tam giác AHM vuông cân.

Câu 8. (2,0 điểm). Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai của

một ngôi nhà được thiết kế liên tục một nhịp với 21 bậc, mỗi

bậc có chiều cao và chiều rộng mặt bậc bằng nhau (Ảnh

bên). Biết chiều cao từ mặt sàn tầng một đến mặt sàn tầng

hai là 3,57m và chiều rộng của mỗi mặt bậc là 25cm. Hỏi vị

trí bắt đầu xây cầu thang ở mặt sàn tầng một cách ví trí chân

tường xây chắn tại cuối cầu thang bao nhiêu mét và cầu

thang dài bao nhiêu mét?

Câu 9. (2,0 điểm). Cho , , a b c là các số thực dương và thỏa mãn 1 a b c . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức: 2 2 2 . 8 8 8       a b c T a bc b ca c ab

----- HẾT------ Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh:............................................................ Số báo danh:...........................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN ĐÁP ÁN KSCL ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9

NĂM HỌC 2023-2024

MÔN: TOÁN Câu 1.a (2,0 điểm)

Cho biểu thức 1 2 1 : 1 1 1 1 x x x P x x x x x x x x x x

                       

. Rút gọn biểu thức P.

Nội dung Điểm Điều kiện 0, 1 x x   0,5

Ta có

  

 

  

1 1 2 1 : 1 1 1 1 1 1

x x x P x x x x x x

                     

0,5

  

 

  

2 1 1 2 1 1 : : 1 1 1 1 1 1

x x x x x x x x x x x

           

0,5

1 1 1 . 1 1 1 x x x x x x        

0,5

Câu 1.b (2,0 điểm). Cho biểu thức 4 3 2 2 2023 Q x x x     . Tính giá trị của biểu thức Q với

5 1 5 1 x  



.

Nội dung Điểm

Ta có     

2 5 1 5 1 5 1 2 5 1 5 1 5 1 x

        

0,5

   2 2 5 1 2 1 5 2 1 5 1 0 1 2 x x x x x          

0,5

      2 4 3 2 2 2 2 2 2023 1 2024 1 1 2024 2 Q x x x x x x x x x                     0,5

Từ (1) và (2) ta được 2024 Q  0,5

Câu 2 (2,0 điểm). Cho ba số thực dương , , a b c thỏa mãn 2 2 2 4 a b c abc     . Chứng minh

         2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 8 a b c b c a c a b abc          .

Nội dung Điểm Ta có

      

   

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

4 4 16 4 16 4 4

4 4 2 2 2

a b c a b c b c a a abc b c

a a abc b c a a bc a a bc a abc

          

        

0,5

Tương tự       2 2 2 2 2 2 4 4 2 ; 4 4 2 b c a b abc c a b c abc         0,5

           2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2 3 a b c b c a c a b a b c abc             0,5

  2 2 2 2 8 a b c abc abc abc    …