Đề học sinh giỏi Toán 9 năm 2023 - 2024 trường THCS Võ Trường Toản - Đồng Tháp

UBND THÀNH PHỐ CAO LÃNH HƯỚNG DẪN CHẤM TRƯỜNG THCS VÕ TRƯỜNG TOẢN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TRƯỜNG, NĂM HỌC 2023-2024 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Đề chính thức (Không kể thời gian phát đề) (Hướng dẫn chấm này có 05 trang) Ngày thi: 10/08/2023 Câu 1: (5,0 điểm)

Nội dung yêu cầu Điểm

Cho biểu thức

2

2 2 1 1 3 , 1 x x P x x x x        với 1, 0. x x   5,0

a) Rút gọn P 3,0 2 2 1 ( 1)( 1) 3 ( 1) ( 1) ( 1) x x x x P x x x x x x          1,0

2 2 2 2 1 1 3 3 ( 1) ( 1) x x x x x P x x x x        0,5 – 0,5

( 3) 3 ( 1) 1 x x x P x x x       0,5 – 0,5

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x thỏa mãn 2 0 x x   . 2,0

2 0 ( ) 0 ( 1) 0 1 ( ) x KTM x x x x x TM          

0,5 – 0,5

Thay 1 x  vào P ta được: 1 3 2 1 1 P     . 0,5 – 0,5

Câu 2: (5,0 điểm)

Nội dung yêu cầu Điểm

a) Giải phương trình 2 1 3 6 5. 2 3 3

x x x x x

      

3,0

Điều kiện: 2 x 

2 2 1 3 6 1 3( 2) 5 1 4 2 2 3 3 3 3

x x x x x x x x x x

              

0,5

2

2 3 3 2 3. 4 2 3 3

x x x x x x

        

0,5

Đặt   2

2 , 0 3 3

x t t x x

    

, ta được

2

2 1 1 3 4 3 4 1 3 4 t t t t t t t t        0,5

2

1 ( ) 3 4 1 0 (3 1)( 1) 0 3 1 ( )

t TM t t t t

t TM

          

0,5

Với 1 3 t  thì 2 2 2

2 1 3 3 3 6 6 9 0 3 3 3

x x x x x x x x

            

 2 3 0 3 0 3 ( ) x x x TM        

0,5

Với 1 t  thì 2 2 2

2 1 3 3 2 4 5 0 3 3

x x x x x x x x

           

 2 2 1 0 x    (*)

Vì  2 2 1 1 0 x   với mọi 2 x  nên PT (*) vô nghiệm

0,5

Vậy nghiệm của phương trình là 3 x . b) Nhân dịp ngày siêu khuyến mãi 08/08/2023, một siêu thị trên địa bàn thành phố Cao Lãnh đã khuyến mãi lô hàng tivi có giá niêm yết là

7 400 000 đồng/cái. Lần đầu siêu thị giảm 10% so với giá niêm yết thì bán được 10 cái tivi, lần sau siêu thị giảm thêm 5% nữa (so với giá giảm lần 1) thì bán thêm được 15 cái nữa. Sau khi bán hết 25 cái tivi thì siêu thị lời được 11 505 000 đồng. Hỏi giá vốn của một cái tivi là bao nhiêu tiền?

2,0

Giá bán tivi sau 2 lần giảm giá:

   7 400 000. 100% 10% . 100% 5% 6 327 000    (đồng) 1,0

Số tiền bán 25 cái tivi:

  7 400 000. 100% 10% .10 6 327 000.15 161 505 000    (đồng) 0,5

Số tiền vốn 1 cái tivi là:

  161 505 000 11 505 000 : 25 6 000 000   (đồng) 0,5

Câu 3: (5,0 điểm)

Nội dung yêu cầu Điểm a) Chứng minh rằng   2023 2022 2 2024 75 4 4 ... 4 5 25 25.4       . 2,0

  2023 2022 2 75 4 4 ... 4 5 25     

   2023 2022 2 25. 4 1 4 4 ... 4 4 1 25        

0,5

  2024 2023 2 2023 2 25. 4 4 ... 4 4 4 ... 4 4 1 25            0,5

  2024 2024 25. 4 1 25 25.4 25 25       0,5

2024 25.4  . 0,5

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 4 4 15. A x x    3,0   2 2 4 4 15 4 4 15 A x x x x       0,5

 2 2 2 2.2 .1 1 14 A x x           0,5

    2 2 2 1 14 2 1 14 A x x             0,5

Vì  2 2 1 0, x    với mọi x nên  2 2 1 14 14, x     với mọi x Hay 14 A  với mọi x

0,5

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  2 1 2 1 0 2 1 0 2 x x x       0,5

Vậy giá trị lớn nhất của A là 14  khi 1 2 x  . 0,5

Câu 4: (3,0 điểm)

Nội dung yêu cầu Điểm a) Gọi P là giao điểm của AC và KE . Chứng minh: AB AP  . 1,0

Xét AHB  và AEP  có:   0 90 AHB AEP   0,25

AH AE  (vì AHKE là hình vuông) 0,25   HAB EAP  (cùng phụ với  HAP ) 0,25

Do đó AHB  = AEP  (g.c.g) AB AP   (2 cạnh tương ứng). 0,25 b) Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm

BP và AQ. Chứng minh ba điểm H , I , E thẳng hàng. 1,0

Xét hình bình hành APQB có I là giao điểm của AQ và BP

 I là trung điểm của AQ và BP Xét ABP  vuông tại A có AI là đường trung tuyến ứng với cạnh

huyền BP 1 2 IA BP  

Xét BKP  vuông tại K có KI là đường trung tuyến ứng với cạnh

huyền BP 1 2 IK BP  

Do đó: IA IK   I thuộc vào đường trung trực của đoạn thẳng AK (1)

0,25

P

K

E

H C …