Đề thi HSG Toán 9 lần 2 năm 2023 - 2024 trường THCS Đắk Ơ - Bình Phước

TRƯỜNG THCS ĐĂK Ơ

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Năm học: 2023 - 2024 Đề thi môn : Toán - LẦN 2 Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (5,0 điểm)

1. Cho biểu thức 3 3 2 9 1 : 9 2 3 6 x x x x x A x x x x x

   − − − − = − + −       − − + + −   

a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa và rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi 22 12 2 x = +

2. Cho ;x y thỏa mãn 0 1; 0 1 x y     và 1 1 1 y x x y     .

Tính giá trị của biểu thức 2 2 . P x y x xy y     

3. Cho ba số dương a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

3 2 a b c b c c a b a + + ≥ + + +

Câu 2. (5,0 điểm)

1. Giải phương trình:

3 2 3 17 8 9 3 2 7 0 x x x x x − − + + − − − =

2. Giải hệ phương trình: ( ) ( )

2 2

2 2 2 2 1 1 1 3 1

x y y x xy x y

 + =  + +   − − = 

Câu 3: ( 5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) và trực tâm là H. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC. a) Xác định vị trí của điểm M sao cho tứ giác BHCM là hình bình hành. b) Với M lấy bất kì thuộc cung nhỏ BC; gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC. Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp. c) Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng. d) Xác định vị trí của điểm M thuộc cung nhỏ BC để cho NE có độ dài lớn nhất. Câu 4. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( ) O . Một điểm M di động trên cung nhỏ BC . Từ M kẻ , MH MK lần lượt vuông góc , AB AC ( ) , H AB K AC ∈ ∈ .

1. Chứng minh MBC ∆ đồng dạng MHK ∆

2. Tìm vị trí của M để HK lớn nhất.

Câu 5. (3,0 điểm)

1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình 2 2 2 2022 2023 2023 2024 x x y y xy xy + + + = + + .

2. Tìm các số nguyên dương sao cho 2 2 2 2 18 9 n n n n + + + + + là số chính phương.

- - - HẾT - - -

• Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. • Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

TRƯỜNG THCS ĐĂK Ơ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Năm học: 2022 - 2023 Đề thi môn : Toán

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

Câ

u

Ý LỜI GIẢI

Điểm

1 1

Cho biểu thức 3 3 2 9 1 : 9 2 3 6 x x x x x A x x x x x

   − − − − = − + −       − − + + −   

a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa và rút gọn biểu thức A.

+) ĐK:

0

0 2 0 4 (*) 9 0 9 3 2 9 0 2 3 6

x

x x x x x x x x x x x x

≥   ≥  − ≠   ⇔ ≠ − ≠    ≠  − − −  + − ≠ − + + − 

0,5

+) ( ) ( )( )

3 ( 3)( 3) ( 2)(2 ) 9 1 : (2 )( 3) 3 3

x x x x x x x A x x x x

  − + − + + − + −   = −   − + − +  

3 2 3 : 3 3 2 x x x x − = = + + −

1,5

b) Tính giá trị của A khi 22 12 2 x = +

( )

2 3 3 3 1 2 2 2 3 2 2 2 22 12 2 2 2 3 2 2 A = = = = = + − + − + −

0,5

0,5 2 Cho ;x y thỏa mãn 0 1; 0 1 x y     và 1 1 1 y x x y     .

Tính giá trị của biểu thức 2 2 . P x y x xy y     

Ta có  

2 2 2 3 P x y x xy y x y x y xy           .

Thay 1 2 2 1 3 1 1 y x x y xy x y       vào biểu thức P ta được

      2 2 2 1 1 1 1 P x y x y x y x y x y x y x y                   (vì 1 x y  ). Giải thích 1 x y  . Từ giả thiết ta có ; 1 1 y x x y   là các số dương mà 1 1 1 y x x y     , nên ta

0,25

0,5

0,25