Đề thi HSG Toán 9 lần 1 năm 2023 - 2024 trường THCS Đắk Ơ - Bình Phước

PHÒNG GD & ĐT HUYỆN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BÙ GIA MẬP CẤP TRƯỜNG LỚP 9 NĂM HỌC 2023 – 2024 TRƯỜNG THCS ĐẮK Ơ MÔN THI: TOÁN - LẦN 1 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10/10/2023 Câu 1. (5 điểm)

1. Cho biểu thức a b a b a b A : 1 1 ab 1 ab 1 ab

  − + −   = + +    − − +    

a) Tìm điều kiện xác định của A và rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của A với 2 a 2 3 = −

.

c) Tìm giá trị lớn nhất của A. 2. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn

2 2 7x 13xy 2y 0. − − =

Tính giá trị của biểu thức 2x 6y B 7x 4y − = +

Câu 2. (5 điểm) 1. Giải các phương trình sau: a)

2 x x 11 11 0 + + − =

b) ( )( ) ( ) x 1 x 3 x 1 4 x 3 . 3 x 3 + − + − − = − −

2. Giải hệ phương trình:

( ) ( ) 2 2 xy 2x y 6

x 1 y 2 8

− + =  + + − = 

Câu 3. (5 điểm) Cho AB là đường kính của đường tròn (O; R). C là một điểm thay đổi trên

đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC;

OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) tại M; MB cắt CH tại K.

a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O; R).

c) Chứng minh K là trung điểm của CH

Câu 4. (2 điểm) Cho tam giác đều ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy ba điểm

bất kỳ I, J, K sao cho K khác A, B và  0 60 IKJ = .

Chứng minh rằng:

2 . . 4 AB AJ BI ≤ Dấu ‘’ = ‘’ xảy ra khi nào ?

Câu 5. (3 điểm)

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3 3 3 3 x y xy + = + .

2. Cho a, b, c là các số dương, chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 3 . 2 2 2 a b b c c a a b c ab bc ca + + + + + ≥ + +

................Hết............... Họ và tên thi sinh…………………………………………..số báo danh…………… Chữ ký của giám thị 1………………………… chữ ký của giám thị 2………………

PHÒNG GD&ĐT BÙ GIA MẬP

TRƯỜNG THCS ĐĂK Ơ

ĐÁP ÁN THI HSG MÔN TOÁN 9

NĂM HỌC 2023-2024

Câu Ý Nội dung Điểm

Câu 1

(5.0 điểm)

1

a b a b a b A : 1 1 ab 1 ab 1 ab

  − + −   = + +    − + −    

a) ĐKXĐ của A là

a 0,b 0

ab 1

b 1

≥ ≥   ≠  ≠ 

0,5

Ta có: ( )( ) ( )( ) ( )( )

a b 1 ab a b 1 ab a b a b 1 ab 1 ab 1 ab 1 ab

− + + + − − + + = − + − +

( ) 2 a 1 b 2 a 2b a 1 ab 1 ab − − = = − −

0,25

( )( ) 1 a 1 b a b 1 1 ab 1 ab + − − + = − − 0,25

Khi đó ( )

( )( )

2 a 1 b 1 ab 2 a A . 1 ab 1 a 1 b 1 a − − = = − + − + 0,5

b) Với ( ) ( )

2 2 2 3 2 a 4 2 3 3 1 4 3 2 3

+ = = = + = + − −

0,25

Suy ra ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 5 2 3 2 3 3 1 A 25 12 13 1 4 2 3 5 2 3

+ + + − − = = = = − + + +

0,75

c) Vì a 0 ≥ nên ta có ( )

2 a 1 0 a 2 a 1 0 − ≥ ⇒ − + ≥

2 a 2 a a 1 1 A 1 a 1 ⇒ ≤ + ⇒ ≤⇒ ≤ +

0,5

Dấu ‘’ = ‘’ xảy ra khi a = 1. Vậy GTLN của A là 1 khi a = 1. 0,5

2

Ta có ( )( ) 2 2 7x 13xy 2y 0 7x y x 2y 0 − − = ⇔ + − =

x 2y ⇔ = ( do x > 0, y > 0) 0,5

Thay vào biểu thức B, ta được 2.2y 6y 2y 1 B 7.2y 4y 18y 9 − − = = = − + .

Vậy 1 B 9 = −

1

Câu Ý Nội dung Điểm

Câu 2

(5.0 điểm)

1

a) ( ) 2 x x 11 11 0 1 + + − = ĐKXĐ: x 11 ≥−

0,25

( ) ( )

( )( )

( )( )

2 1 x x 11 x x 11 0

x x 11 x x 11 x x 11 0

x x 11 x x 11 1 0

⇔ − + + + + =

⇔ − + + + + + + =

⇔ + + − + + =

0,25

( )

( )

x x 11 0 1'

x x 11 1 0 2'

+ + =  ⇔ − + + = 

0,25

( ) 2

x 0

1 3 5 x 0 x 1' x 11 x 2 x 11 x 1 3 5 x 2

≤   +  ≤   =  ⇔ + = − ⇔ ⇔   + =   −  =   

1 3 5 x 2 − ⇔ = ( thỏa mãn đk)

0,25

( ) 2

2

x 1 2' x 11 x 1 x 11 (x 1)

x 1

1 41 x 1 x 2 x x 10 0 1 41 x 2

≥−  ⇔ + = + ⇔+ = +  ≥−   −+  ≥−   =  ⇔ ⇔   + − =   −−  =   

1 41 x 2 −+ ⇔ = ( thỏa mãn đk)

0,25

Vậy phương trình có tập nghiệm 1 3 5 1 41 ; 2 2

  − −+        

0,25

b) ( )( ) ( ) ( ) x 1 x 3 x 1 4 x 3 . 3 2 x 3 + − + − − = − −

ĐKXĐ: x 1 ≤− hoặc x 3 > 0,25

Xét x 3 > . Khi đó ( ) ( )( ) x 1 x 3 . x 3 x 1 x 3 + − = − + −

Đặt ( )( ) ( ) x 3 x 1 y y 0 − + = ≥ thì

( ) ( ) ( )

2 y 1 n 2 y 4y 3 0 y 3 n

 = ⇔ − + = ⇔ = 

0,25