Đề chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Vân Canh - Bình Định

UBND HUYỆN VÂN CANH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2023 – 2024 Môn thi: Toán lớp 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 15/10/2023 --------------------------------------------------------------

Bài 1:(3điểm)

Cho biểu thức

3 2

3 2 3 2 1 1 2 2 1 : 1 1 1 x x x Q x x x x x x x   + − = + − −   + + − − − +  

a, Rút gọn Q

b, Tìm giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên

Bài 2: (6điểm)

a, Tìm hệ số a để đa thức f(x) = x3 – 8x2 + ax – 5 chia hết cho đa thức g(x) = x2 – 3x + 1

b, Cho n là một số tự nhiên lẻ. Chứng minh n3 – n chia hết cho 24.

c, Tìm các số dương x, y, z thỏa mãn

2 2 2 3

6

x y z

x y z xy yz zx

 + + = + + + + + = 

Bài 3: (3điểm)

Cho ABC ∆ có đường phân giác trong AD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho

  ECD BAD = .

a, Chứng minh AD.DE BD.CD = .

b, Chứng minh 2 AD AB.AC BD.CD = − .

Bài 4:(4điểm)

a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 12 36 16 64 A x x x x = − + + − +

b, Cho ba số dương , , x y z thỏa mãn 6 x y z + + = . Chứng minh rằng 4 9 x y xyz + ≥

Bài 5: (4điểm)

Cho tam giác ABC nhọn và một điểm P thuộc miền trong tam giác. Gọi , , D E F theo

thứ tự là hình chiếu của P trên các cạnh , , BC CA AB

a, Chứng minh 2 2 2 2 2 2 BD CE AF DC EA FB + + = + +

b, Xác định vị trí điểm P trong ABC ∆ để tổng 2 2 2 DC EA FB + + đạt giá trị nhỏ nhất.

(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.)

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND HUYỆN VÂN CANH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2023 – 2024

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI

Môn: Toán lớp 9 ( Gồm có 03 trang) Bài Yêu cầu cần đạt Điểm

Bài 1a

a, ĐK: 0; 1;2 x ≠ − .Ta có:

3 2

3 2 3 2 1 1 2 2 1 : 1 1 1 x x x Q x x x x x x x   + − = + − −   + + − − − +  

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 1 1 2 1 1 1 . 2 1 1

x x x x x x x x x x x

+ + + − − + − + = + − + − +

0,75điểm

( )( ) ( )

2 2

2 2 4 1 1 . 2 1 1

x x x x x x x x x

− + − + = + − − − +

( ) ( )( ) ( )

2

2 2 2 1 1 . 2 1 1

x x x x x x x x x

− − − + = + − + − +

0,75 điểm

− − = + = + + 2 1 1 1 1 x x x 0,5 điểm

Bài 1b Lập luận để { } 3; 2;1 Q Z x ∈ => ∈− − 1,0 điểm

Bài 2a

Thực hiện phép chia đa thức, tìm được phần dư là: (a – 16)x 0,75 điểm

Để f(x) chia hết cho g(x) thì (a – 16)x là đa thức không ( 16) 0, a x x ⇔ − = ∀ 0,75 điểm

⇔ 16 0 a − = 16 a ⇔ = 0,5điểm

Bài 2b

Ta có: n3 – n = n(n – 1)(n + 1)

Vì n – 1, n, n + 1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên sẽ có một số chia hết cho 3.

Do đó: n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 3

0,75 điểm

Vì n – 1, n, n + 1 là ba số tự nhiên liên tiếp và n là số lẻ nên sẽ có một số chia

hết cho 2 và một số chia hết cho 4. Do đó: n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 8

0,75 điểm

Mà 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 24

Vậy n3 – n chia hết cho 24 (đpcm)

0,5điểm

Bài 2c

Từ GT ta suy ra:

2 2 2 3

2( ) 2 2 2 12

x y z

x y z xy yz zx

 + + =  + + + + + = 

Cộng vế theo vế ta được: (x + y + z)2 + 2(x + y + z) = 15

0,5 điểm

⇒[(x + y + z) + 1]2 = 16

⇒ x + y + z = 3 (vì x, y, z > 0)

⇒xy + yz + zx = 3

⇒ x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx

⇒ 2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0

⇒(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = 0

1,0 điểm