Đề chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2023 - 2024 trường THCS Nguyễn Du - Lâm Đồng

PHÒNG GD – ĐT ĐÀ LẠT TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2023 – 2024

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút

Ngày thi: 21/10/2023

Câu 1. (4.0 điểm) 1.1. Cho 1 a b + = . Tính giá trị biểu thức:

3 3 2 2 2( ) 3( ) M a b a b = + − +

1.2. Cho

( )

4 2 3 3

5 2 . 9 4 5 2 x + − = + − −

. Tính giá trị biểu thức ( ) 2017 2 1 P x x = + + .

Câu 2. (4.0 điểm) 2.1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì

3 7 6 n n −  chia hết cho 6. 2.2. Bạn An mua một số quyển vở và bút máy hết tất cả là 102 nghìn đồng. Biết giá mỗi quyển vở là 12 nghìn đồng, giá mỗi cây bút là 10 nghìn đồng. Hỏi bạn An mua được bao nhiêu quyển vở và bao nhiêu cây bút? Câu 3. (4.0 điểm) 3.1. Định mức giá điện sinh hoạt năm 2021 như sau:

Số điện (kWh) Giá bán điện (đồng/kWh)

Bậc 1: Từ 0 – 50 kWh 1.678

Bậc 2: Từ 51 – 100 kWh 1.734

Bậc 3: Từ 101 – 200 kWh 2.014

Bậc 4: Từ 201 – 300 kWh 2.536

Bậc 5: Từ 301 – 400 kWh 2.834

Bậc 6: Từ 401 kWh trở lên 2.927

Tiền điện được tính theo bậc, với thuế giá trị gia tăng (GTGT) 10%.

a) Trong tháng 6/2021, nhà bạn Xuân sử dụng hết 230 kWh điện. Tính tiền điện nhà bạn Xuân phải trả. b) Cũng trong tháng đó, nhà bác Hạ đã phải trả 548 680 đồng tiền điện. Hỏi nhà bác Hạ đã sử dụng hết bao nhiêu kWh điện?

3.2. Cho , , , x y a b là những số thực khác 0 thỏa mãn

4 4 2 2 x y x y a b a b + + = +

và 2 2 1 x y + = ( 0 a b + ≠). Chứng minh rằng :

2006 2006

1003 1003 1003 2 ( ) x y a b a b + = +

Câu 4. (4.0 điểm)

4.1. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Tính giá trị biểu

thức 2022 2023 HD HE HF AD BE CF   + + +    

4.2. Cho hình bình hành ABCD . Một đường thẳng (d) đi qua A cắt đường chéo BD tại P, cắt các

đường thẳng BC và CD lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng : 1 1 1 AM AN AP + =

Câu 5. (4.0 điểm)

5.1. Cho p là số nguyên tố sao cho tồn tại các số nguyên dương ,x y thỏa 3 3 3 1 x y p xy + − = − Tìm giá trị lớn nhất của p 5.2. Từ tấm nhôm hình vuông cạnh 6 dm. Người ta muốn cắt một hình thang (phần tô đậm trong hình vẽ). Tìm tổng x y + để diện tích hình thang cắt được nhỏ nhất.

………………Hết……………

(Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay)

x cm

y cm

3 cm

2 cm

G

F

C D

A B E

H

HƯỚNG DẪN CHẤM

CÂU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM

Câu 1.1

(2,0 điểm)

Cho 1 a b + = . Tính giá trị biểu thức: 3 3 2 2 2( ) 3( ) M a b a b = + − +

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 2 3 3 2 2

3 2

3 2

2( ) 3( ) 2 3 3 2

2 6 3 6

2.1 6. .1 6 3.1 1

M a b a b a b ab a b a b ab

a b ab a b a b ab

ab ab

    = + − + = + − + − + −    

= + − + − + +

= − + − = −

1,0 đ

0,5 đ 0,5 đ

Câu 1.2

(2,0 điểm)

Cho

( )

4 2 3 3

5 2 . 9 4 5 2 x + − = + − −

. Tính giá trị biểu thức ( ) 2017 2 1 P x x = + + .

( )

( ) ( )

2

2

3 1 3

5 2 5 2 2 x + − = + − −

3 1 3 1 (5 4) 2 + − = = − − − 1,5 đ

( ) 2017 2 1 1 P x x = + + = 0,5 đ

Câu 2.1

(2,0 điểm )

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì

3 7 6 n n −  chia hết cho 6.

( ) 3 3 7 6n n n n n − = − − 0,5 đ

( ) ( ) 3 1 1 n n n n n − = − + 0,5 đ

Lý luận, chứng minh được ( ) ( ) 1 1 6 n n n − +  (nêu không nêu được 2,3 nguyên

tố cùng nhau thì cho 0,25 đ 0,5 đ

Nêu được 6n 6  , từ đó suy ra đpcm 0,5 đ

Câu 2.2

(2,0 điểm )

Bạn An mua một số quyển vở và bút máy hết tất cả là 102 nghìn đồng. Biết giá mỗi quyển vở là 12 nghìn đồng, giá mỗi cây bút là 10 nghìn đồng. Hỏi bạn An mua được bao nhiêu quyển vở và bao nhiêu cây bút?

Gọi x là số quyển vở , y là số cây bút máy ( * ,x y∈) 0,25 đ

Lập được phương trình 12 10 102 6 5 51 x y x y + = ⇔ + = 0,25 đ

51 5 5 51 6 6 y y x x − ⇔ = − ⇔ = 0,25 đ

Lý luận suy ra được 51 5 51 11 5 y y < ⇒ < <

Vì 51 6 3 x −  và ( ) 3;5 1 3 y = ⇒  Suy ra 3 y = hoặc 6 y = hoặc 9 y =

0,75 đ

Với 3 6 y x = ⇒ = (thỏa mãn) Với 9 1 y x = ⇒ = (thỏa mãn)

0,25 đ