Đề khảo sát HSG Toán 9 lần 1 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Tam Kỳ - Quảng Nam

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ TAM KỲ

KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 – LẦN 1

Năm học 2023 – 2024 Môn: TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút (không kể thời gian giao đề ) Câu 1 (5,0 điểm).

a) Tính giá trị của biểu thức 7 2 2023 ( 4 4 2) A x x x     biết rằng 3 4 2 3 x    . b) Cho biểu thức

  1 2( 1) 2 1 1

x x x x x x B

x x x x

        

(với 0 1 x  ).

Rút gọn biểu thức B và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B. Câu 2 (5,0 điểm). a) Giải phương trình: 3 3 3 (3 2023) (3 2026) (6 3) x x x      .

b) Giải phương trình: 9 2023 6 2023 ( 9)( 6) x x x x        . Câu 3 (2,0 điểm). Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

2 2 2 3 1 1 1 2 a b b c c a       .

Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 2( ) 1 M a b c    . Câu 4 (4.0 điểm). Cho hình vuông ABCD cạnh a, lấy điểm M bất kỳ trên cạnh BC (M khác B và C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K. a) Chứng minh rằng KM vuông góc với DB và KC.KD = KH.KB. b) Ký hiệu , ABM DCM S S lần lượt là diện tích của các tam giác ABM và DCM. Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để

2 2 ABM DCM S S  đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a. Câu 5 (2.0 điểm). Cho tam giác vuông tại A có AB AC  và AM là trung tuyến. Đặt   , ACB AMB     . Chứng minh rằng

2 (sin cos ) sin 1       . Câu 6 (2.0 điểm). Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn 4 ab bc ca abc     . Chứng minh rằng 3 ab bc ca    .

===Hết=== Lưu ý: Thí sinh không được phép sử dụng tài liệu. Giám thị không được giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh………………………………………….......Số báo danh……………………

Đề chính thức

Hướng dẫn chấm môn Toán – Thi khảo sát HSG lớp 9 lần 1 năm học 2023-2024

UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ

KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9-LẦN 1 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học: 2023 – 2024 Ngày 28 tháng 9 năm 2023 Môn: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Đáp án Điểm 1 (5.0 điểm)

a) (1.5 điểm). Ta có

 

2 3 4 2 3 3 3 1 x      

0.5

  3 3 1 3 3 1 3 3 1 1          .

(Nếu thí sinh quên ghi “dấu giá trị tuyệt đối” mà kết quả đúng thì giám khảo tha cho các em ở bước này)

0.5

Thay 1 x  vào biểu thức A ta được

7 2 2023 2023 (1 4.1 4.1 2) ( 1) 1 A      .

0.5

b) (3.5 điểm). Ta có

  1 2( 1) 2 1 1

x x x x x x B

x x x x

        

      

3 31 2 1 1 2 1

1 1

x x x x x x

x x x x

               

(Phân tích đúng cho tử của mỗi phân thức được 0,5 điểm vì đây là bước quan trọng nhất để rút gọn biểu thức B).

1.5

     2 1 1 2 1 x x x x       0.5

1 x x    0.5

2 1 3 3 , 0, 1 2 4 4 B x x x            

.

0.5

Vậy

2 3 1 1 1 min 0 4 2 2 4 B x x x              

.

0.5

F Hướng dẫn chấm môn Toán – Thi khảo sát HSG lớp 9 lần 1 năm học 2023-2024

2 (5.0 điểm)

a) (2.5 điểm). Đặt 3 2023 6 3 3 2026 a x a b x b x          

.

Phương trình đã cho trở thành

3 3 3 ( ) a b a b   

0.5

3 3 3 3 3 ( ) 3 ( ) 0 a b a b ab a b ab a b          0.5

0 a   hoặc 0 b  hoặc 0 a b   . 0.5

 Với 0 a  thì 2023 3 2023 0 3 x x      . 0.25

 Với 0 b  thì 2026 3 2026 0 3 x x     . 0.25

 Với 0 a b   thì 1 6 3 0 2 x x     . 0.25 Vậy tập hợp nghiệm của phương trình đã cho là

2023 2026 1 ; ; 3 3 2 S       

0.25

b) (2.5 điểm).

Điều kiện: 9 0 9 6 6 0 6 x x x x x               

.

0.5

Phương trình đã cho tương đương với

  9 2023 2023 6 ( 9)( 6) 0 x x x x            

0.5

    9 2023 6 2023 9 0 x x x        

   9 2023 1 6 0 x x      

0.5

9 2023

6 1

x

x

   

  

0.5

4092520

5

x

x

   

(thỏa điều kiện). (Sai một nghiệm trừ 0.25 điểm).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

{ 5;4092520 S  }

0.5

Cách khác: Thí sinh có thể đặt 9 0, 6 0 a x b x       để đưa phương trình về dạng tích    2023 1 0 a b    . Nếu đặt đúng điều kiện và trình bày lời giải chính xác, hợp lý vẫn cho điểm tối …