Đề chọn đội tuyển HSG Toán 9 vòng 2 năm 2023 - 2024 trường THCS Cầu Giấy - Hà Nội

PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY

TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY

ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP 9 VÀ CHỌN ĐỘI

TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG II

Môn kiểm tra: Toán Ngày thi: 21/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Không tính thời gian phát đề) Bài 1. (5,0 điểm)

1. Cho biểu thức 2 3 5 7 2 3 : 2 2 1 2 3 2 5 10

x x A x x x x x x

  − + = + −     − + − − −  

với 0, x > 4. x ≠

a. Rút gọn biểu thức . A

b. Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.

2. Cho các số thực , , a b c thỏa mãn 2 2 2 3 2 1, a ab b − + = 2 2 3 4 2 b bc c − + = và

2 2 3 3. c ca a + − = Tính giá trị của biểu thức 4 4 4 B a b c = + + . Bài 2. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình 2 4 9 5 6 1. x x x − = + +

2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( ) ; a b thỏa mãn 2 7 1 a − chia hết cho 7 1 ab − và

2 2 a b + + là số chính phương

Bài 3. (4,0 điểm)

1. Cho các số hữu tỉ ,x y thỏa mãn 3 3 2 2 . x x y y − = − Chứng minh rằng . x y =

2. Cho các số thực không âm , , a b c thỏa mãn 4. a b c + + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3 . P a ab abc = + + Bài 4. (6,0 điểm) Cho hình vuông , ABCD gọi O là giao điểm của hai đường chéo. E là điểm bất kì thuộc đoạn , OB trên tia đối của tia EC lấy điểm F sao cho . OF OC = Đường thẳng qua F vuông góc với FO cắt đường thẳng BD tại . S Kẻ FH vuông góc với BD ( ). H BD ∈

1. Chứng minh SFB SDF ∆ ∆ ∽ và . SB SD SH SO ⋅ = ⋅

2. Chứng minh rằng FE là phân giác của . BFD Từ đó suy ra 2 2 2 1 1 2 . BE DE EF + =

3. Kẻ ET vuông góc với FD tại . T Chứng minh rằng , FO AH và ST đồng quy. Bài 5. (1,0 điểm)

1. Xét tập { } 1,2,3, ,10 . T  = Chỉ ra một tập con U có 4 phần tử của T thỏa mãn với mọi

, , x y U ∈ x y ≠ thì x y + không chia hết cho . x y −

2. Cho M là tập con chứa n phần tử của { } 1,2,3, ,2023 . S  = Tìm n lớn nhất để mọi

, , x y M ∈ x y ≠ thì x y + không chia hết cho . x y −

-----------HẾT-----------

Họ và tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh: …………………….

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY

TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP 9 VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG II

Môn kiểm tra: Toán Ngày thi: 21/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Không tính thời gian phát đề)

BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM

1

1

Cho biểu thức 2 3 5 7 2 3 : 2 2 1 2 3 2 5 10

x x A x x x x x x

  − + = + −     − + − − −  

với 0, x >

4. x ≠

a. Rút gọn biểu thức . A

b. Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.

1,5

1,5

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )

2 3 5 7 2 3 : 2 2 1 2 3 2 5 10

2 2 1 3 2 5 7 5 10 . 2 3 2 2 1

5 2 2 3 5 . 2 3 2 1 2 2 1

x x A x x x x x x

x x x x x

x x x

x x x x

x x x x

  − + = + −     − + − − −   + + − − − − = + − +

− + = = + + − +

1,5

Vì 0 5 0;2 1 0 0 x x x A > ⇒ > + > ⇒ >

Mặt khác, xét ( ) 5 3 2 1 3 3 0 2 1 2 1

x x x A x x

− + − − − = = < + +

0 3 x A ∀ > ⇒ <

Vậy 0 < A < 3

0,5

0,5

Do đó A nguyên ⇔ A = 1 hoặc A = 2.

5 1 1 1 1 5 2 1 3 1 3 9 2 1

x A x x x x x x = ⇔ = ⇔ = + ⇔ = ⇔ = ⇔ = +

(thỏa

mãn) 5 2 2 5 2(2 1) 2 2 4 2 1

x A x x x x x x = ⇔ = ⇔ = + ⇔ = ⇔ = ⇔ = + (loại)

Vậy 1 9 A x  ∈ ⇔ =

0,5

2

2. Cho các số thực , , a b c thỏa mãn 2 2 2 2 2 3 2 1; 3 4 2 a ab b b bc c − + = − + = và

2 2 3 3 c ca a + − = .

Tính giá trị của biểu thức 4 4 4 B a b c = + +

2,0

ĐỀ CHÍNH THỨC