Đề học sinh giỏi Toán 9 vòng 2 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Tứ Kỳ - Hải Dương

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

HUYỆN TỨ KỲ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9, VÒNG II

Năm học 2022 - 2023

MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi này gồm 05 câu, 01 trang)

Câu 1. (2,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức:

 

2 2

2 P 1 1 1       a a a a a

với 1 0 a  .

2) Cho ; ; x y z là các số dương thỏa mãn: 2 3 3 3     z x y xy z .

Tính giá trị biểu thức:  

2022 2022 M 2025     x y z

Câu 2. (2,0 điểm)

1) Giải phương trình:  

2 2

2 15 1    x x

x

2) Giải phương trình:

3

2

2 8 40 5

  

x x x

Câu 3. (2,0 điểm) 1) Cho hai số nguyên ,x y thỏa mãn   2 2 1 2     x y xy x y . Chứng minh rằng

x và y là hai số chính phương liên tiếp.

2) Tìm các cặp số tự nhiên   ;x y thỏa mãn  

6 30    x y y x.

Câu 4. (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

Trên đoạn thẳng AD lấy điểm M sao cho 0 BMC 90  . Gọi 1 2 S, S , S lần lượt là diện tích các

tam giác BAC, BMC, BHC.

a) Chứng minh rằng: 1 2 S S.S 

b) Gọi K,P lần lượt là hình chiếu của D trên BE,CF. Chứng minh rằng KP//EF

2) Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lần lượt lấy các điểm M, N, P .

Đặt 1 2 3 S , S ,S , S lần lượt là diện tích các tam giác ANP, BMP, CMN, ABC. Chứng minh

rằng:

3 1 2 3

1 S .S .S S 64  .

Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số a,b,c dương, thỏa mãn 3    a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 3 3 a b c P b ab c bc a ca      

-------- Hết -------- * Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài.

Họ và tên thí sinh: ................................................................................................. SBD: .............................

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - VÒNG II

Năm học 2022 - 2023

MÔN: TOÁN 9 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Câu Đáp án Điểm

1 (2 điểm)

1) Rút gọn:

 

2 2

2 1 1 1 a a P a a a      

với 1 0 a   .

Ta có      

2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 a a a a a a a a a a                 

0,25

Do đó

 

2 2

2 1 1 1 1 a a a a a a       

0,25

với 1 0 a   1 0; 0 1 0 1 1 a a a a a a        

0,25

Suy ra 1 1 1 1 a a P a a a a       

0,25

2) Cho ; ; x y z là các số dương thỏa mãn: 2 3 3 3     z x y xy z .

Tính giá trị biểu thức:  

2022 2022 M 2025     x y z

Có

2 3 3 2 3 3

3 3 3

2 3 2 3 3 3

z x y z x y z xyz x y z xy z z xyz z

                      

0,25

3 3 3 3 0 x y z xyz     

       2 2 2 1 0 2 x y z x z y z x y              0,25

Vì ; ; x y z là các số dương nên

 

2022 2022 0          x y z x y z x y z 0,25

Suy ra  

2022 2022 2025 2025 45       M x y z 0,25

2 (2 điểm)

1) Giải phương trình:

 

2 2

2 15 1    x x

x

ĐK: x 1 

   

2 2 2 2 2 2 15 2 . 15 2 . 1 1 1 1            x x x x x x x x x x x x

2 2 2 2 2 . 15 0 2 15 0 1 1 1 1                         

x x x x x x x x x x

0,25

Đặt

2

, 1   x a x PT trở thành  

2 2 2 15 0 1 16       a a a 0,25