Đề học sinh giỏi thành phố Toán THCS năm 2022 - 2023 sở GDĐT Hải Phòng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI PHÒNG

(Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

CẤP THCS, NĂM HỌC 2022 - 2023

ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 28/03/2023

Bài 1. (2,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức

2 2 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2 4 : a a b a a b a a b A b a a b a a b

  − − + − −   = −   + − − −  

(với 0 a b > > ).

b) Chứng minh rằng

3 6 6 6 ... 6 1 5 6 27 3 6 6 ... 6

− + + + + < < − + + +

(trong đó biểu thức chứa căn có

2023 dấu căn ở tử số và 2022 dấu căn ở mẫu số). Bài 2. (2,0 điểm)

a) Cho phương trình ( ) 2 2 4 1 4 1 0 x m x m − + + −= (với m là tham số ).

Tìm m để phương trình có hai nghiệm 1 2 , x x thoả mãn điều kiện 1 0 x < và 1 2. x x <

b) Giải hệ phương trình

1 2 1 3 . 1 2 1 1

x x y

y x y

   + =    +        − =    +   

Bài 3. (2,0 điểm) a) Tìm x nguyên dương để

3 2 4 14 9 6 x x x + + − là số chính phương. b) Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn . x z ≥ Chứng minh rằng

2

2 2 5 2

x z xz y xz yz x z y yz

+ + + ≥ + + +

Bài 4. (3,0 điểm)

Cho ABC ∆ nhọn không cân tại đỉnh , A nội tiếp đường tròn ( ). O Kẻ đường cao AH của

( ). ABC H BC ∆ ∈ Gọi , P Q lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H đến các đường thẳng

, . AB AC

a) Chứng minh tứ giác BCQP nội tiếp.

b) Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại , M đường thẳng AM cắt đường tròn ( ) O tại

điểm thứ hai là K (K khác A). Chứng minh rằng

2 . . MH MK MA =

c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác . BCQP Chứng minh ba điểm , , I H K thẳng

hàng. Bài 5. (1,0 điểm)

Tìm độ dài nhỏ nhất của cạnh một hình vuông sao cho có thể đặt vào trong nó 5 hình tròn có bán kính bằng 1, biết rằng các hình tròn này đôi một không có quá một điểm chung.

---------Hết--------- (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: ............................................... Số báo danh: ...............................................

Cán bộ coi thi 1: ................................................. Cán bộ coi thi 2: ..........................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

-Trang 1-

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI PHÒNG

(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

CẤP THCS NĂM HỌC 2022 - 2023

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

Ngày thi: 28/03/2023

Bài Đáp án Điểm

Bài 1 (2 điểm)

1a. (1,0 điểm)

Với 0 a b > > ta có

( ) ( )

( )( )

2 2 2 2 2 2 2

4 2 2 2 2 2 2 . 4

a a b a a b b

a a b a a b a a b

− − − + − = − − − + −

0,25

2 2 2

2 2 2 4 . . 4

a a b b b a a b

− − = −

0,25

a a = − 0,25

1 khi 0 1 khi 0 a a

− >  =  < 

0,25

1b. (1,0 điểm)

Đặt

3 6 6 6 ... 6

3 6 6 ... 6 A − + + + + = − + + +

và 6 6 ... 6 a = + + + (Với 2023 dấu căn).

0,25

suy ra

2 6 6 6 ... 6 a − = + + + (Với 2022 dấu căn)

Và

( ) ( ) 2 3 1 1 3 3 6

a A a a

− = = + − −

0,25

Ta có 6 6 ... 6 3 a < + + + + (Với 2023 dấu căn)

( ) 1 1 3 2 6 3 a a ⇒ < ⇒ < +

0,25

Ta có ( ) 1 1 5 2,4 6 3 3 3 2,4 27 a a < < ⇒ < = + +

Từ ( ) 2 và ( ) 3 suy ra 1 5 . 6 27 A < <

0,25

Bài 2 (2 điểm)

2 a. (1,0 điểm) Giả sử 1 2 , x x là các nghiệm của phương trình đã cho. 0,25

2 2 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2 4

              

- - - - - : - - -

a a b a a b a a b A b a a b a a b

ĐỀ CHÍNH THỨC