Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 9 năm 2022 - 2023 sở GDĐT Hà Nam

Câu I. (3,0 điểm) Cho biểu thức

2 1 1 1 a a a a a a a P a a a a a a + − − + − = + + − − với 0, 1. a a > ≠

a) Rút gọn biểu thức . P

b) Tìm điều kiện của a để biểu thức 8 Q P = nhận giá trị nguyên.

Câu II. (4,0 điểm) 1. Giải phương trình

2 3 2 3 3 4 2 0 x x x x − − + − = .

2. Giải hệ phương trình

2 2

2 4 6 5 0

2 3 2 2 26.

x y x y

x y x x

 − + − − =  + + + + = 

Câu III. (2,0 điểm) Cho parabol ( )

2 1 : 2 P y x = và hai điểm ( ) ( ) 2;2 , 4;8 A B − nằm trên ( ). P

Gọi M là điểm thay đổi trên ( ) P và có hoành độ là ( ) 2 4 . m m −< < Tìm m để tam giác

ABM có diện tích lớn nhất. Câu IV. ( 2,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình ( )( ) 3 2 2 4 . x y x y y x x − + + = +

Câu V. (7,0 điểm) 1. Cho đường tròn ( ) ; O R đường kính . AB Gọi C là điểm thỏa mãn tam giác ABC nhọn. Các đường thẳng , CA CB cắt đường tròn ( ) O tại điểm thứ hai tương ứng là , . D E Trên cung AB của ( ) O không chứa D lấy điểm F (0 FA FB < ≤ ). Đường thẳng CF cắt

AB tại , M cắt đường tròn ( ) O tại N ( N không trùng với ) F và cắt đường tròn ( )' O ngoại tiếp tam giác CDE tại P ( P không trùng với C ). a) Giả sử  0 60 , ACB = tính DE theo . R b) Chứng minh . . . CN CF CP CM = c) Gọi ,I H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng , . BD AB Các đường thẳng IH và CD cắt nhau tại . K Tìm vị trí của điểm F để biểu

thức AB BD AD FH FI FK + + đạt giá trị nhỏ nhất.

2. Cho góc nhọn xOy cố định và A là điểm cố định trên . Ox Đường tròn ( ) I thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với , Ox Oy lần lượt tại , . E D Gọi AF là tiếp tuyến thứ hai kẻ từ A đến ( ) I ( F là tiếp điểm). Chứng minh DF luôn đi qua một điểm cố định. Câu VI. (2,0 điểm)

Cho 2 số dương , . a b Chứng minh: ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2 2 2 2 2 1 1 1 3. 5 1 1 1

a b a b b a

a b a b b a

+ − − + − + + + ≥ + + + + + +

--- HẾT--- Họ và tên thí sinh:………………………….Số báo danh:.............................................. Người coi thi số 1………………………………Người coi thi số 2……………..........................

UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2022 - 2023

Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút

Page 1 of 6

UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2022 – 2023

Môn: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)

I. HƯỚNG DẪN CHUNG

o Hướng dẫn chấm chỉ trình bày sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng. o Đối với bài toán hình học nếu học sinh chứng minh có sử dụng đến hình vẽ thì yêu cầu phải vẽ hình, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng. o Điểm toàn bài không làm tròn. II. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

Câu Sơ lược lời giải Điểm

I. (3,0 điểm)

Cho biểu thức

2 1 1 1 a a a a a a a P a a a a a a + − − + − = + + − −

với 0, 1. a a > ≠

a) Rút gọn biểu thức . P 2,0 ( ) ( )

( )( ) ( )

3 1 1 1 1 1 1

a a a a a P a a a a a

− − −− + + = + + − −

0,75

1 1 1 a a a a a a a a + + + −− + = + + 0,75

2 1 a a a + + = 0,5

b) Tìm điểu kiện của a để biểu thức 8 Q P = nhận giá trị nguyên. 1,0

Có 1 1 2 2 . 2 4 P a a a a = + + ≥ + = (Theo BĐT Côsi)

1 4 1 P a a a = ⇔ = ⇔ = (loại do 1 a ≠)

Vậy 4 0, 1. P a a > ∀> ≠ 8 0 2 0 2 Q P ⇒ < < ⇒ < <

0,5

Do đó để ( )

2 1 8 6 1 0 Q Q P a a ∈ ⇔ = ⇔ = ⇔ − + =  0,25

3 2 2 17 12 2

3 2 2 17 12 2

a a

a a

  = − = − ⇔ ⇔   = + = +    

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy 17 12 2 a = ± là các giá trị cần tìm

0,25

II. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình

2 3 2 3 3 4 2 0 x x x x − − + − = . 2,0

Điều kiện

3 2 3 4 2 0 x x x − + − ≥ 0,25

Có ( )( ) 3 2 2 3 4 2 1 2 2 x x x x x x − + − = − − +

nên

3 2 3 4 2 0 1 x x x x − + − ≥ ⇔ ≥ vì ( ) 2 2 2 2 1 1 0 x x x x − + = − + > ∀

0,25