Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THCS năm 2022 - 2023 sở GDĐT Bình Dương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH Năm học 2022 -2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN. Ngày thi 18/3/2023 Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề

Bài 1: ( 4,0 điểm)

Cho biểu thức

2 1 1 1 x x x x x x x A

x x x x x x − + − − + = + + − −

với 0, 1 x x  .

1. Chứng minh rằng 4. A 

2. Với những giá trị nào của x thì biểu thức: 6 B A = nhận giá trị nguyên.

Bài 2: ( 4,0 điểm)

1. Giải phương trình : 2 4 9 7 7 28 x x x + + = , với 0. x 

2. Giải hệ phương trình :

3

3

3

3 4

3 6 2

3 8 3

x x y

y y z

z z x

 − = −  − = −   − = − 

Bài 3: ( 6,0 điểm)

1. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, chứng minh rằng 2 1 24 p − .

2. Cho A là tập hợp gồm 6 sản phẩm bất kì của tập hợp   : ,0 14 X x x x =    . Chứng minh rằng

tồn tại hai tập con 1 2 , B B của tập hợp A ( 1 2 , B B khác nhau và khác rỗng ) sao cho tổng các phần tử của

tập 1 B bằng tổng các phẩn tử của tập 2 B .

3. Xét các số thực , , x y z không âm và khác 1 thỏa mãn: 1 x y z + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức : ( )( ) 1 1 4 5 P x y z x yz y xz = + + + + + +

Bài 4: (6,0 điểm) 1. Cho hình thang ( ) // , ABCD AB CD AB CD  . Gọi E là giao điểm của AD và BC, F là giao điểm

của AC và BD. Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua trung điểm của hai đáy AB,CD.

2. Cho tam giác nhọn . , , ABC D E F lần lượt là các điểm trên các cạnh BC, CA, AB. Nối AD, BE,

CF. AD cắt CF và BE lần lượt tại G và I, CF cắt BE tại H. Chứng minh rằng nếu diện tích của bốn tam

giác AFG, IHG, BID, CEH bằng nhau thì các diện tích của ba tứ giác AGHE, BIGF, CHID cũng bằng

nhau.

====== HẾT =======

Thí sinh không được mang máy tính và tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.