Đề thi chọn học sinh giỏi Toán THCS năm 2022 - 2023 sở GDĐT Vĩnh Long

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VĨNH LONG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤPTHCS

NĂM HỌC 2022 – 2023 Kháo thi ngày 19/03/2023

Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kè̉ thời gian giao đề) Bài 1. (4,0 điểm)

a) Cho ( )

2023 3 12 31 A x x = + − .Tính giá trị của biểu thức Akhi 3 3 16 8 5 18 8 5 x = − + +

b) Cho biểu thức : 2 3 2 : 2 5 6 2 3 1 x x x x B x x x x x

   + + + = − − −       − + − − +   

. Rút gọn biểu thức B

và tìm các giá trị của x để 1 5 2 B ≤−

Bài 2. (4,0 điểm)

a) Giải phương trình

2 3 2 1 0 x x x − + + − =

b) Giải hệ phương trình:

1 1 2

1 1 1

x y

x y

 −+ −=  + = 

Bài 3. (2,0 điểm)

Cho phương trình:

2 2 2 1 0. x m x m − + −= ( m là tham số). Tìm m để phương trình có hai

nghiệm 1 2 , x x thỏa 1 2 2 2 1 2 1 2

2 3 2(1 ) x x T x x x x + = + + + đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài4. (2,0 điểm) Cho > , 0 x y thỏa mãn điều kiện + = 2 x y . Chứng minh ( ) + ≤ 2 2 2 2 2 x y x y

Bài 5. (2,5 điểm)

a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên phương trình :

2 2 3 2 2 2 8 0 x y xy x y − − − − + =

b) Chứng minh rằng : + − − 3 2 11 6 6 n n n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n Bài 6 (4,5 điểm).

Cho đường tròn   ; O R có đường kínhAB . Điểm C là điểm bất kỳ trên  O ,

( , C A C B   ) .Tiếp tuyến tại C cắt tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại P và Q

a) Chứng minh  0 90 POQ  và 2 . AP BQ R  . b) OP cắt AC tại M , OQ cắt BC tại N . Gọi , H I lần lượt là trung điểm của MN và PQ . Đường trung trực của MN và đường trung trực của PQ cắt nhau tại K . chứng minh

4. AB IK  c) Chứng minh   NMQ NPQ  Bài 7. (1,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có độ dài đường chéo bằng 1. Tứ giác MNPQ có các đỉnh nằm trên các cạch của hình vuông. Chứng minh rằng chu vi tứ giác MNPQ không nhỏ hơn 2.

----Hết --- Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng và máy tính cầm tay.

ĐỀ CHÍNH THỨC

Hướng dẫn Câu Nội dung Điểm 1 4.0 a)Tính giá trị của biểu thức A 2.0

Ta có:

3 3 16 8 5 16 8 5 x = − + +

⇒ 3 3 3 3 32 3 (16 8 5)(16 8 5).( 16 8 5 16 8 5) x = + − + − + + 3 32 12 x x ⇔ = − 3 12 31 1 x x ⇔ + − = ( ) 2023 3 2023 12 31 1 1 A x x = − + = =

b) Rút gọn biểu thức B và tìm các giá trị của x để 1 5 2 B ≤−

2.0

ĐK: x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9 1 ..... 4 x B x + = = −

1 5 4 5 2 8 5 5 2 2 1 x x x B x − ≤− ⇔ ≤− ⇔ − ≤− − +

1 1 1 2 5 3 0 3 0 0 2 2 4 x x x x x ⇔ + − ≤ ⇔−≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

2 4.0 a)Giải phương trình

2 3 2 1 0 x x x − + + − = 2.0

Trường hợp 1: 1 x ≥: ta có phương trình

2 3 2 1 0 x x x − + + −= 2 2 1 0 1 x x x − + = ⇔ = (nhận) Trường hợp 2: 1 x < ta có phương trình

2 3 2 1 0 x x x − + − + =

2 1 4 3 0 3

x x x x

=  ⇔ − + = ⇔= 

(loại)

Vậy tập nghiệm của phương trình: { } 1 S =

b)Giải hệ phương trình:

1 1 2 (1)

1 1 1 (2)

x y

x y

 −+ −=  + = 

2.0

ĐK: 1; 1 x y ≥ ≥ (2) x y xy ⇔ + = (3) Hai vế của (1) đều dương ta bình phương hai vế ta có:

( )( ) ( ) 2 2 1 1 4 2 2 1 4 x y x y x y xy x y + − + − − = ⇔ + − + − + + =

Thay (3) vào ta có: 4 x y + = kết hợp với (3) có hệ:

4

4

x y

xy

+ =   = 

Áp dụng hệ thức Vi Ét ta có ;x y là hai nghiệm của pt:

2 4 4 0 X X − + = ⇒ 2; 2 x y ⇒ = =