Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THCS năm 2022 - 2023 sở GDĐT Phú Yên

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH PHÚ YÊN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 07/3/2023 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

-----------

Câu 1.(3,00 điểm) Cho biểu thức: 3 1 4 2 A x x x = + + + + .

a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. b) Tính x khi 2 A = . Câu 2.(4,00 điểm) Giải hệ phương trình:

( ) 3 2 2 3 505 253 2022

3 4 4 4.

x y

x x y x y y

+ =  + + + = + − 

Câu 3.(3,00 điểm) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: ( ) 2 4 5 x y xy + + = .

Câu 4.(3,00 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA, M là một điểm thuộc (O) sao cho MA > MB. Đường thẳng MC cắt (O) tại D (D khác M), đường thẳng qua D và vuông góc với AB cắt (O) tại E (E khác D), đường thẳng ME cắt đường thẳng AB tại F.

a) Chứng minh AF = AO. b) Đường thẳng qua M song song với DE cắt AB tại H và cắt (O) tại điểm thứ hai N. Chứng minh rằng 3 điểm F, D, N thẳng hàng.

c) Trong trường hợp EF = MC, tính độ dài đoạn thẳng CH theo R. Câu 5.(5,00 điểm)

a) Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 ab bc ca a b c a b b c c a + + ≤ + + + + + .

b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: 2 2 1 1 1

1 1 1 z y z x x y

+ = ⋅     + + +        

Chứng minh rằng x = y = z. Câu 6.(2,00 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AD. Gọi E, F, G lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABD, ACD, ABC. Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng AG

và EF. Chứng minh rằng 1 1 1 1 HG HA HE HF = + + ⋅

---------Hết---------

Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:………………………………………;Số báo danh:…………………….....… Chữ kí giám thị 1:……….………………..;Chữ kí giám thị 2:………..………………………...

ĐỀ CHÍNH THỨC

2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH PHÚ YÊN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2022 - 2023

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 07/3/2023 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

(Gồm có 04 trang) 1. Hướng dẫn chung - Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.

- Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi.

- Điểm bài thi không làm tròn số. 2. Đáp án và thang điểm CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 1

Cho biểu thức : 3 1 4 2 A x x x = + + + + .

a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. b) Tính x khi 2 A = ⋅

3,00 đ

a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa 1,00 đ

Vì

2 3 1 1 1 0 4 2 2 2 x x x   + + + = + + ≥      

nên điều kiện của x để A có nghĩa là:

1 1 0 2 2 x x + ≥ ⇔ ≥− ⋅

0,50 đ

0,50 đ

b) Tính x biết A =2. 2,00 đ

Biến đổi ta có:

2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 x x x x   + + + = ⇔ + + + =      

1,00 đ

2 1 1 9 2 2 4 x   ⇔ + + =      

0,50 đ

1 1 3 1 2 2 2 2 x x ⇔ + + = ⇔ = ⋅

0,50 đ 2 Giải hệ phương trình: ( ) 3 2 2 3 505 253 2022 (1)

3 4 4 4 (2)

x y

x x y x y y

+ =  + + + = + − 

4,00 đ

Phương trình (2) tương đương:

3 2 3 2 3 3 1 1 3 3 1 1 x x x x y y y y + + + + + = − + −+ −

( ) ( ) 3 3 1 1 1 1 x x y y ⇔ + + + = − + − (3).

1,00 đ

Đặt 1; 1 u x v y = + = − thì phương trình (3) là:

( )( ) 3 3 2 2 1 0 u u v v u v u uv v + = + ⇔ − + + + = (4).

1,00 đ

ĐỀ CHÍNH THỨC