Đề học sinh giỏi Toán THCS năm 2022 - 2023 sở GDĐT Yên Bái

THCS.TOANMATH.com

Câu 1. (4,0 điểm)

1. Rút gọn biểu thức 2 - 3 6 -3 3 S = + 2 2 .

2. Cho ( ) 3 2 P = x x ax bx c + + + với , , a b c là các số thực. Biết rằng ( ) ( ) P 2 = P 3 2023. =

Tính giá trị biểu thức ( ) ( ) Q = P 5 P 0 . −

Câu 2. (3,0 điểm) Giải phương trình

2 1 1 9 25 8 1 3 5 3 5 x x x x −   + + =   − +   .

Câu 3. (6,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Một điểm H cố định thuộc bán kính OB ( H khác O và B ). Qua điểm H kẻ dây cung MN vuông góc với đường kính AB . Một điểm C đi động trên cung nhỏ AN (C khác A và N ). Gọi L là giao điểm của BC và MN . a) Chứng minh rằng ACLH là một tứ giác nội tiếp và . . BH BA BL BC = . b) Chứng minh rằng BN là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CLN . c) Đường thẳng qua N và vuông góc với AC cắt MC tại D . Tìm vị trí của điểm C trên cung nhỏ AN của đường tròn tâm O sao cho diện tích tam giác ADM đạt giá trị lớn nhất. Câu 4. (4,0 điểm)

1. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố ( ) , , p q r thỏa mãn ( )( ) 2 2 2 1 1 1 p q r + + = + .

2. Cho m và n là các số nguyên dương thỏa mãn 1 mn+ chia hết cho 24 . Chứng minh rằng m n + cũng chia hết cho 24 . Câu 5. (3,0 điểm) 1. Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn 3 x y z + + = . Chứng minh rằng

3 1 1 1 y z z x x y x y z + + + + + ≥ + + + .

2. Để chuẩn bị cho Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, bạn Tùng quyết định luyện tập giải một số bài toán trong vòng 6 tuần. Theo dự định, bạn Tùng sẽ giải ít nhất một bài toán mỗi ngày và không quá 10 bài toán mỗi tuần. Chứng minh rằng luôn tồn tại một chuỗi ngày liên tiếp mà trong khoảng thời gian đó tổng số bài toán Tùng giải bằng 23. ___________________ Hết ___________________

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH YÊN BÁI

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS

NĂM HỌC 2022 - 2023

MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

THCS.TOANMATH.com

LỜI GIẢI

Câu 1. (4,0 điểm)

1. Rút gọn biểu thức 2 - 3 6 -3 3 S = + 2 2 .

2. Cho ( )

3 2 P = x x ax bx c + + + với , , a b c là các số thực. Biết rằng ( ) ( ) P 2 = P 3 2023. =

Tính giá trị biểu thức ( ) ( ) Q = P 5 P 0 . −

Lời giải 1. Ta có:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2- 3 6-3 3 2- 3 6-3 3 2- 3 6-3 3 2 - 3 6-3 3 S = + + 2 2 3 1 3- 3 3 1 2 2- 3 2 6 -3 3 3 3 1

3- 3 1 3 3 1

= = + = + − − −

= = −

2. Ta có:

( ) ( ) P 2 = P 3 2023 8 4 2 27 9 3 2023 5 19 a b c a b c a b = ⇔+ + + = + + + =  + = −

Do đó:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q = P 5 P 0 125 25 5 125 5 5 125 5 19 30. a b c c a b − = + + + −= + + = + − =

Câu 2. (3,0 điểm) Giải phương trình

2 1 1 9 25 8 1 3 5 3 5 x x x x −   + + =   − +   .

Lời giải

+ Điều kiện:

5 0 3 5 3

x

x

−  < <   > 

+ Ta có: ( )

2 2

2 1 1 9 25 6 9 25 8 1 8. 1 * 3 5 3 5 9 25 x x x x x x x x − −   + + = ⇔ + =   − + −  

+ Đặt

2 2 2 2 2 9 25 9 25 1 0 9 25 x x x t t x x t x − − = > ⇔ = ⇔ = − + Khi đó, phương trình

( ) ( )( ) 3 2 3 2 2 2 2 6 * 8. 1 48 0 4 3 48 0 4 3 12 0 4 t t t t t t t t t t t ⇔ + = ⇔ − − = ⇔ − + − = ⇔ − − + = ⇔=

+ Với

( ) 2 2 2

1, . 9 25 4 4 9 16 25 0 25 ,( ) 19

x th m x t x x x x loai

= −  −  = ⇔ = ⇔ − − = ⇔ =  + Vậy: Phương trình đã cho có tập nghiệm là { } 1 . S = −

Câu 3. (6,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Một điểm H cố định thuộc bán kính OB ( H khác O và B ). Qua điểm H kẻ dây cung MN vuông góc với đường kính AB . Một điểm C đi động trên cung nhỏ AN (C khác A và N ). Gọi L là giao điểm của BC và MN . a) Chứng minh rằng ACLH là một tứ giác nội tiếp và . . BH BA BL BC = .