Đề học sinh giỏi huyện Toán 9 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Tiên Du - Bắc Ninh

UBND HUYỆN TIÊN DU PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC: 2022 - 2023

Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 22/2/2023

I. PHẦN CHUNG

Câu 1(3,0 điểm) Cho biểu thức 1 2 1 : 1 1 1 x x A x x x x x x

                   

1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. 2) Tính giá trị của A tại 4 2 3. x   Câu 2(3,0 điểm)

Cho hai đường thẳng       1 2 : 1; : 4 1 ; d mx y d x m y m      với 1. m 

1) Chứng minh rằng đường thẳng   1d đi qua điểm A cố định, đường thẳng   2 d đi qua điểm B cố

định với mọi 1. m  2) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B. Câu 3(3,5 điểm)

1) Giải phương trình

2 5 2 3. 3 4 x x x

    

2) Gọi x, y là các số thực thỏa mãn 4 5 9

5 4 9

x y

x y

     

    

Tính 2 3 . M x y   Câu 4(6,5 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O với bán kính R, đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Ax tại A của nửa đường tròn. Xét điểm M thay đổi trên Ax, không trùng với A. Gọi E là điểm đối xứng với A qua OM.

a) Chứng minh rằng ME là một tiếp tuyến của nửa đường tròn (O). b) Đoạn OM cắt nửa đường tròn (O) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác

AME. c) Gọi N là trung điểm EB. Tia ME cắt ON tại P. Hãy xác định vị trí của điểm M trên tia Ax để diện

tích tam giác OMP đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo R. d) Gọi C là giao điểm của BE và tia Ax, OC cắt AE tại Q. Kẻ đường thẳng qua Q và song song với

Ax, cắt OM tại D. Chứng minh A, D, P thẳng hàng. II. PHẦN RIÊNG

Thí sinh lựa chọn làm một (chỉ một) câu trong hai câu sau: Câu 5a (4,0 điểm)

1) Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn   2 3 6 12 27. x x x y    

2) Với các số dương x, y, z, t thỏa mãn x + y + z + t = 4.

Chứng minh rằng 2 2 2 2 1 1 1 1 2. 1 1 1 1 x y z t        

Câu 5b (4,0 điểm)

1) Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn ab bc ca   chia hết cho 3. Chứng minh rằng nếu

3 3 3 a b c   chia hết cho 3 thì 3 3 3 a b c   chia hết cho 27.

2) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 1 1 1. x y z x y z     

Chứng minh rằng

3 3 3

3 3 3 0. x x y y z z x y z y z x z x y           

Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................

UBND HUYỆN TIÊN DU PHÒNG GD & ĐT

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn: Toán - Lớp 9 Câu Đáp án Điểm 1.1. (2,0 điểm)

Cho biểu thức 1 2 1 : 1 1 1 x x A x x x x x x

                   

3) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. 4) Tính giá trị của A tại 4 2 3. x   ĐKXĐ: 0; 1. x x  

  

    

 

  

2

1 2 1 : 1 1 1

1 1 2 : 1 1 1 1

1 2 1: 1 1 1

1 1: 1 1 1

1 1 . 1 1

1. 1

x x A x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x

x x x

                   

              

       

      

     

  



Vậy 1 1 x x A

x   



0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

1.2. (1,0 điểm)

Theo câu 1 có 1 1 x x A

x   



với 0; 1. x x  

Theo bài ra  

2 4 2 3 3 1 x x      (tmđk)

Thay vào A ta được:

   

 

2

2

4 2 3 3 1 1

3 1 1

4 2 3 3 1 1 3 1 1

6 3 3

3

3 2 3

A

    

 

   



 

 

Vậy A =3 2 3  tại 4 2 3. x  

0,25 0,25 0,25 0,25 2.1 (2,0 điểm)