Đề học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm 2022 - 2023 sở GDĐT Ninh Bình

LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TỈNH NINH BÌNH 2022 −2023

Lời giải bởi:Văn Quyền, Thầy Phạm Văn Tuyên (câu pt vô tỉ)

Câu 1:(5,0 điểm)

1. Với ?≥0 ?à ?≠1, rút gọn biểu thức ?= ?= ?+ √?+ 1

?+ √?−2 + 1

√?−1 + √?

?+ 2√?

2. Cho phương trình (?+ 1)?3 + (3?−1)?2 −?−4?+ 1 = 0 (với ? là tham số). Tìm ?

để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

3. Cho đa thức ?(?) = (?−2)2023 = ?2023?2023 + ?2022?2022 + ⋯+ ?2?2 + ?1?+ ?0. Tính giá trị

của biểu thứ? ?= (?0 + ?2 + ?4 + ⋯+ ?2020 + ?2022)2 −(?1 + ?3 + ?5 + ⋯+ ?2021 + ?2023)2

?ờ? ??ả?:

1. Vớ? ?≥0 và ?≠1, ta có:

?= ?+ √?+ 1

?+ √?−2 + 1

√?−1 + √?

?+ 2√?= ?+ √?+ 1

(√?+ 2)(√?−1)

+ 1

√?−1 + √?

√?(√?+ 2)

= ?+ √?+ 1

(√?+ 2)(√?−1)

+ 1

√?−1 + 1

√?+ 2 = ?+ √?+ 1 + √?+ 2 + √?−1

(√?+ 2)(√?−1)

= ?+ 3√?+ 2

(√?+ 2)(√?−1) = (√?+ 1)(√?+ 2)

(√?+ 2)(√?−1) = √?+ 1

√?−1

Vậy ?= √?+ 1

√?−1

2) (?+ 1)?3 + (3?−1)?2 −?−4?+ 1 = 0 (1)

⟺(?+ 1)?3 −(?+ 1)?2 + 4??2 −4?−?+ 1 = 0

⟺(?+ 1)?2(?−1) + 4?(?−1)(?+ 1) −(?−1) = 0

⟺(?−1)[(?+ 1)?2 + 4??+ 4?−1] = 0

2

1 ( 1) 4 4 1 0(2) x m x mx m =   + + + −= 

Để pt (1) có 3 nghiệm phân biệt thì pt (2) là pt bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

Điều kiện để pt (2) là pt bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt: {?+ 1 ≠0

∆′> 0

⇔{ ?≠−1 4?2 −(?+ 1)(4?−1) > 0

⇔{ ?≠−1 −3?+ 1 > 0

⇔{

?≠−1

?< 1

3

Thay ?= 1 vào (2), ta có:

(?+ 1). 12 + 4?. 1 + 4?−1 = 0 ⇔9?= 0 ⇔?= 0

Pt (2) là pt bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 khi và chỉ khi {

?≠−1

?≠0

?< 1

3

Vậy ?≠1, ? ≠0, ?< 1

3

3. ?0 + ?1 + ?2 + ⋯+ ?2023 = ?(1) = (1 −2)2023 = −1

?0 −?1 + ?2 + ⋯−?2023 = ?(−1) = (−1 −2)2023 = (−3)2023 = −32023

Q = (?0 + ?2 + ?4 + ⋯+ ?2020 + ?2022)2 −(?1 + ?3 + ?5 + ⋯+ ?2021 + ?2023)2

= (?0 + ?2 + ?4 + ⋯+ ?2020 + ?2022 + ?1 + ?3 + ?5 + ⋯+ ?2023)(?0 + ?2 + ?4 + ⋯+ ?2020

+ ?2022 −?1 −?3 −?5 −⋯−?2021 −?2023)

= (−1). (−32023)

= 32023

Vậy ?= 32023

Câu 2. (4 điểm)

1. Giải phương trình 2?2 + 3?−2 = (2?−1)√2?2 + ?−3

2. Giải hệ phương trình {

?2 + ?2 + 2??

?+ ?= 1

2?+ 3?−√?+ ?= ?2

?ờ? ??ả?:

1. ĐK: 2?2 + ?−3 ≥0 ⇔(?−1)(2?+ 3) ≥0

1

3 2

x

x

   −  

2?2 + 3?−2 = (2?−1)√2?2 + ?−3

⇔(2?−1)(?+ 2) = (2?−1)√2?2 + ?−3

⇔(2?−1) (?+ 2 −√2?2 + ?−3) = 0

TH1:2?−1 = 0 ⇔?= 1

2 (??ạ?)

TH2:?+ 2 = √2?2 + ?−3 ⇔{ ?≥−2 ?2 + 4?+ 4 = 2?2 + ?−3 ⇔{ ?≥−2 ?2 −3?−7 = 0 2

3 37 ( ) 2 3 37 ( ) 2

x

x tm

x tm

−   +  =    −  =   

Vậy phương trình có tập nghiệm ?= {3 + √37

2 ; 3 −√37

2 }

2. ĐK ?+ ?> 0

{

?2 + ?2 + 2??

?+ ?= 1 (1)

2?+ 3?−√?+ ?= ?2 (2)

Đặt ?= ?+ ?, ?= ?? (?2 ≥4?, ?> 0)

(1) ⇔?2 −2?+ 2?

?= 1 ⇔?3 −2??+ 2?−?= 0

⇔?(?−1)(?+ 1) −2?(?−1) = 0

⇔(?−1)(?2 + ?−2?) = 0

⇔(?+ ?−1)(?2 + ?2 + ?+ ?) = 0

Vì ?2 ≥0, ?2 ≥0, ?+ ?> 0 nên ?2 + ?2 + ?+ ?> 0

→?+ ?= 1 →?= 1 −?, thay vào (2), ta có:

2?+ 3 −3?−1 = ?2 ⇔?2 + ?−2 = 0 ⇔(?+ 2)(?−1) = 0 2 3( ) 1 0( ) x y tm x y tm = − =   =  = 

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm ?= {(−2; 3); (1; 0)}

Câu 3. (3 điểm)

1. Tìm tất cả các số tự nhiên ?, ? thoả mãn ?2(?−1) + ?2(?−1) = 1

2. Cho các số thực dương ?, ?, ? thoả mãn ?+ ?+ ?= 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

?= √ ?? ??+ 3?+ √ ?? ??+ 3? + √ ?? ??+ 3?

?ờ? ??ả?:

1. Đặt ?= ?+ ?, ?= ?? (?≥0, ?≥0, ?2 ≥4?), phương trình đã cho trở thành

??−?2 + 2?−1 = 0 ⇔?2 −??−2?+ 1 = 0 ⇔?2 −4 −?(?+ 2) = −5

⇔(?+ 2)(?−2 −?) = −5

→?+ 2, ?−2 −? ∈Ư(−5) = {±1; ±5}

Vì ?+ 2 ≥2 nên { ?+ 2 = 5 ?−2 −?= −1 ⇔{?= 3

?= 2

→?, ? là nghiệm của pt ?2 −3?+ 2 = 0 ⇔(?−1)(?−2) = 0 1, 2 2, 1 x y x y = =  = = 

Vậy (?; ?) ∈{(1;2); (2; 1)}

2. ?= ∑√ ?? ??+3?= ∑√

?? ??+(?+?+?)?=∑√

?? (?+?)(?+?) ≤∑1

2 (

? ?+?+

? ?+?) =

1 2 . 3 =

3 2

(Dấu "=" xảy ra khi ?= ?= ?= 1)

Câu 4. (6 điểm)

Cho 3 điểm phân biệt cố định ?, ?, ? cùng nằm trên đường thẳng ? (điểm ? nằm giữa ? và ?),

gọi ? là trung điểm của đoạn thẳng ??. Đường tròn tâm ? luôn đi qua hai điểm ? và ? (điểm ? không

thuộc ?). Kẻ các tiếp tuyến ??, ?? với đường tròn tâm ? (?, ? là các tiếp điểm). Đường thẳng ?? cắt

?? tại điểm ? và cắt ?? tại điểm ?