Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 9 năm 2022 - 2023 sở GDĐT Bắc Ninh

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn thi: TOÁN - Lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,0 điểm).

1) Cho biểu thức 1 1 2 1 2 : 1 1 1

x x x x x x P x x x x x

                                 

với 0, x  và

1, x  1 4 x  . Rút gọn biểu thức P và tìm giá trị của x để 7 3 P  .

2) Gọi A và B là giao điểm của đường thẳng : 2 d y x  với parabol  2 : . P y x  Tính diện

tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ). Câu 2 (4,0 điểm).

1) Giải hệ phương trình   2 2

2 2 2 3 2 5 2 0

2 3 15 0.

x xy y x y

x xy y

           

2) Giải phương trình 2 3 4 1 4 3 2 3 4 5 x x x x x       . Câu 3 (3,0 điểm).

1) Tìm các cặp số nguyên   ;x y thỏa mãn   2 1 2 y x x    .

2) Với mỗi số nguyên a , gọi 1 2 , x x là các nghiệm của phương trình 2 2 1 0 x ax    . Chứng minh

   2 2 4 4 1 2 1 2 n n n n x x x x   chia hết cho 48 với mọi số tự nhiên n .

Câu 4 (6,0 điểm).

1) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , D là điểm bất kì thuộc cạnh BC (D khác B và C ). Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC . Đường thẳng MN cắt đường tròn  O

tại P , Q sao cho M nằm giữa P và N . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt AB tại I (khác

B ). Các đường thẳng DI và AC cắt nhau tại K .

a) Chứng minh   PID PAC  . Từ đó suy ra 4 điểm A , I , P , K cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh PBD  đồng dạng với PAK  và QA PD QB PK  .

c) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G (khác P ). Đường thẳng IG

cắt đường thẳng BC tại E . Chứng minh khi D di chuyển trên đoạn BC thì tỉ số CD CE không đổi.

2) Cho tứ giác nội tiếp ABCD . Chứng minh AB CD AD BC AC BD      . Câu 5 (3,0 điểm).

1) Cho 3 số thực , , a b c thỏa mãn 1 3;1 3;1 3 a b c       và 6. a b c    Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức 2 2 2 F a b c    . 2) Cho đa giác lồi 1 2 2024 AA A  . Tại mỗi đỉnh k A ( 1,2,...,2024 k  ), người ta ghi một số thực ka sao

cho giá trị tuyệt đối của hiệu hai số trên hai đỉnh kề nhau bằng một số nguyên dương không lớn hơn 3. Tìm giá trị lớn nhất có thể được của giá trị tuyệt đối của hiệu giữa hai số ghi trên mỗi cặp đỉnh của đa giác đã cho, biết rằng các số ghi tại các đỉnh đã cho đôi một khác nhau.

======Hết======

Họ và tên thí sinh…………………………………..……Số báo danh……………

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn thi: TOÁN - Lớp 9

Câu Nội dung Điểm Câu 1 (4,0 điểm) 1.1. (2,0 điểm)

Cho biểu thức 1 1 2 1 2 : 1 1 1

x x x x x x P x x x x x

                                 

với 0, x  và 1, x  1 4 x  .

Rút gọn biểu thức P và tìm giá trị của x để 7 3 P  .

Với 0, x  và 1, x  1 4 x  ta có

1 (2 1)(1 ) (2 1)(1 ) : (1 ) (1 )(1 ) (1 )( 1)

x x x x x x x P x x x x x x x

                                       

0.25

  2 1 (2 1) (2 1) : (1 ) (1 ) ( 1)

x x x x P x x x x x

                      

0.25

 

  

  

2 1 1 2 1 : 1 1 1

x x x x x x P x x x x x

          

0.25

1 x x P x

   . 0.25

7 1 7 3 10 3 0 3 3 x x P x x x

         0.5

9 3 1 1 9 3

x x

x x

                

(thỏa mãn). Vậy 1 9; . 9 x              

0.5

1.2. (2,0 điểm) Gọi A và B là giao điểm của đường thẳng : 2 d y x  với parabol  2 : . P y x  Tính diện tích tam giác

OAB (O là gốc tọa độ).

Phương trình hoành độ giao điểm 2 2 1 2 2 0 2 x x x x x x

           

.

0.5