Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm học 2022 - 2023 sở GDĐT Hà Nội

LỜI GIẢI ĐỀTHI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 THÀNH PHỐHÀ NỘI 2023

Võ Quốc Bá Cẩn – Trần Đức Hiếu – Đào Phúc Long

1. Đềthi

Bài 1 (5.0 điểm). d

a) Giải phương trình p

x2 C 2x C 6 C x2 D p

2x C 2 x C 3:

b) Cho a; b; c là các sốthực thỏa mãn đồng thời các điều kiện a2

a2C1 D b; 8b2

4b2C1 D c và 2c2

c2C1 D a: Tính giá trịcủa biểu thức P D a C b C c:

Bài 2 (5.0 điểm). d

a) Tìm tất cảcác sốnguyên dương n thỏa mãn 3n C 1 và 12n 11 là sốchính phương.

b) Cho đa thức P.x/ có bậc không quá 2022 thỏa mãn P.k/ D 1 kC1 với mọi k D 0; 1; : : : ; 2022: Tính giá trịcủa P.2023/:

Bài 3 (2.0 điểm). Xét các sốnguyên dương a; b; c thỏa mãn a C b C c D 16; tìm giá trịlớn nhất và giá trịnhỏnhất của biểu thức P D aCb

c C bCc

a C cCa

b :

Bài 4 (6.0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A .AB < AC/ nội tiếp đường tròn .O/: Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn .O/ cắt nhau tại điểm S: Trên tia đối của tia CA; lấy điểm M (M khác C). Qua điểm S; kẻđường thẳng vuông góc với đường thẳng OM; cắt đường tròn .O/ tại hai điểm phân biệt E; F (E nằm giữa S và F ).

a) Chứng minh rằng đường thẳng ME là tiếp tuyến của đường tròn .O/:

b) Gọi D là chân đường vuông góc kẻtừđiểm M đến đường thẳng BC: Chứng minh rằng EC là tia phân giác của góc FED:

c) Gọi P; Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MD với hai đường thẳng BE và BF I K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ: Chứng minh rằng ∠SDK D 90ı:

Bài 5 (2.0 điểm). d

a) Tìm tất cảcác sốnguyên tốm; n; p thỏa mãn m2 C 3n2 C 5p2 8mnp D 0:

b) Cho đa giác đều A1A2 : : : A2023: Gọi S là tập hợp gồm các trung điểm của các đoạn thẳng AiAj .1 i < j 2023/ và M là tổng độdài của tất cảcác đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm thuộc tập S: Gọi N là tổng độdài của tất cảcác đoạn thẳng AiAj .1 i < j 2023/: Chứng minh rằng M < 10112N:

1

2 Lời giải đềthi học sinh giỏi thành phốlớp 9 thành phốHà Nội 2023

2. Lời giải và bình luận các bài toán

Bài 1 (5.0 điểm). d

a) Giải phương trình p

x2 C 2x C 6 C x2 D p

2x C 2 x C 3:

b) Cho a; b; c là các sốthực thỏa mãn đồng thời các điều kiện a2

a2C1 D b; 8b2

4b2C1 D c và

2c2

c2C1 D a: Tính giá trịcủa biểu thức P D a C b C c:

Lời giải. a) Điều kiện: x 1: Phương trình đã cho tương đương với

p

x2 C 2x C 6 3 C .x2 C x 2/ C 2 p

2x C 2 D 0;

hay .x 1/.x C 3/ p

x2 C 2x C 6 C 3 C .x 1/.x C 2/ 2.x 1/ p

2x C 2 C 2 D 0:

Phương trình trên có thểđược viết lại thành

.x 1/ x C 3 p

x2 C 2x C 6 C 3 C x C 2 2 p

2x C 2 C 2

D 0:

Vì x 1 nên xC3 p

x2C2xC6C3 > 0 và x C 2 2 p

2xC2C2 x C 2 2

2 D x C 1 0: Do đó, từphương trình trên, ta suy ra x D 1: Thửlại, ta thấy thỏa mãn. Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x D 1:

b) Từgiảthiết, dễthấy a; b; c 0: Nếu trong a; b; c có một sốbằng 0 thì hiển nhiên các sốcòn lại cũng bằng 0 và như vậy, trong trường hợp này, ta có P D 0:

Xét trường hợp a; b; c > 0: Khi đó, từgiảthiết, ta có

16abc D .a2 C 1/.4b2 C 1/.c2 C 1/:

Sửdụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

.a2 C 1/.4b2 C 1/.c2 C 1/ 2a 4b 2c D 16abc:

Vì dấu đẳng thức phải xảy ra nên ta phải có a D 1; b D 1

2 và c D 1: Thửlại, ta thấy thỏa mãn. Và như vậy, trong trường hợp này, ta có P D 1 C 1 C 1

2 D 5

2:

Vậy P D 0 (khi a D b D c D 0) hoặc P D 5

2 (khi a D 1; b D 1

2; c D 1).

Bài 2 (5.0 điểm). d

a) Tìm tất cảcác sốnguyên dương n thỏa mãn 3n C 1 và 12n 11 là sốchính phương.

b) Cho đa thức P.x/ có bậc không quá 2022 thỏa mãn P.k/ D 1 kC1 với mọi k D 0; 1; : : : ; 2022: Tính giá trịcủa P.2023/:

Lời giải. a) Đặt 3n C 1 D a2 và 12n 11 D b2 với a; b nguyên dương. Khi đó, ta có

.2a b/.2a C b/ D 4.3n C 1/ .12n 11/ D 15: