Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THCS năm 2022 - 2023 sở GDĐT Khánh Hòa

Trang 1/6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KHÁNH HÒA

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS

CẤP TỈNH NĂM HỌC 2022 - 2023

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 07/12/2022 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (4,00 điểm):

1) Rút gọn biểu thức ( )

3 3 1 . 10 6 3

6 2 5 5 A − + = + −

.

2) Cho ,x y là các số nguyên thỏa mãn đẳng thức

2

2 2 1 2. xy x y x y   + + + =   +   Chứng minh rằng 1 xy + là một số chính phương.

Câu 2 (4,00 điểm):

1) Cho đa thức ( ) f x với các hệ số nguyên thỏa mãn ( ) ( ) 3 . 4 7 f f = . Chứng minh rằng

đa thức ( ) 12 f x − không có nghiệm nguyên.

2) Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng. Câu 3 (4,00 điểm):

1) Giải phương trình

2 6 4 2 4 2 2 4

x x x x

− + − − = +

.

2) Cho , a b là hai số thực lớn hơn 1 và thỏa mãn điều kiện 4 a b + ≤ . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

( ) ( )

4 4

3 3 1 1

a b A b a = + − −

.

Câu 4 (6,00 điểm):

1) Cho tam giác ABC , I là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Qua I vẽ đường thẳng DE song song với AB ( D AC ∈ , E BC ∈ ) và đường thẳng IM song song với BC

( M AC ∈ ). Tính giá trị của biểu thức ID BE CM AB BC CA + + .

2) Cho hình vuông ABCD có tâm O . Điểm E thay đổi trên cạnh BC ( E khác B và C ).Gọi F là giao điểm của tia AE và đường thẳng CD , gọi H là giao điểm của OE và BF .

a) Chứng minh rằng 2 2 1 1 AE AF + không đổi.

b) Tìm vị trí của điểm E để diện tích tam giác HAD đạt giá trị lớn nhất. Câu 5 (2,00 điểm):

Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng ba số bất kì trong chúng chia hết cho số còn lại. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau.

 HẾT  - Giám thị không giải thích gì thêm.

- Họ và tên thí sinh:…………………………...…… SBD:……………/Phòng: …………………….

- Giám thị 1: ……………………………….....…… Giám thị 2: ……………………………………

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Trang 2/6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KHÁNH HÒA

(Hướng dẫn chấm có 06 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS

CẤP TỈNH NĂM HỌC 2022 - 2023

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 07/12/2022

Câu 1 (4,00 điểm):

1) Rút gọn biểu thức ( )

3 3 1 . 10 6 3

6 2 5 5 A − + = + −

.

Hướng dẫn chấm Điểm

Ta có :

( ) ( ) 3 3 3 10 6 3 3 1 ( 3 1) 3 1 + − = + −

1,00

2 6 2 5 5 ( 5 1) 5 + − = + − 0,50

Suy ra

3 10 6 3( 3 1)

6 2 5 5 A + − = = + −

3 3

2 ( 3 1) ( 3 1) ( 3 1)( 3 1) 5 1 5 ( 5 1) 5

+ − + − = + − + −

1,00

3 1 2 1 − = =

Vậy 2 A = .

0,50

2) Cho ,x y là các số nguyên thỏa mãn đẳng thức

2

2 2 1 2. xy x y x y   + + + =   +   Chứng minh rằng 1 xy + là một số chính phương.

Hướng dẫn chấm Điểm Với điều kiện x + y ≠ 0 , ta có:

2

2 2 1 2 xy x y x y   + + + =   +  

( )

2 2 1 2( 1) 0 xy x y xy x y   + ⇔ + − + + =   +  

2 1 0 xy x y x y   + ⇔ + − =   +  

1 0 xy x y x y + ⇔ + − = +

0,50

( ) 2 1 xy x y ⇔ + = + Do ,x y là các số nguyên nên x y + là số nguyên. Vậy 1 xy + là một số chính phương.

0,50

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Trang 3/6

Câu 2 (4,00 điểm):

1) Cho đa thức ( ) f x khác hằng với các hệ số nguyên thỏa mãn ( ) ( ) 3 . 4 7 f f = .

Chứng minh rằng đa thức ( ) 12 f x − không có nghiệm nguyên.

Hướng dẫn chấm Điểm +) Giả sử đa thức ( ) 12 f x − có nghiệm nguyên a .

Khi đó ( ) ( ) ( ) 12 . f x x a Q x − = − với ( ) Q x là đa thức có hệ số nguyên. 0,50

Suy ra ( ) ( ) ( ) 3 3 . 3 12 f a Q = − + và ( ) ( ) ( ) 4 4 . 4 12 f a Q = − + (1) 0,50

+) Ta có: ( ) ( ) 3 . 4 7 f f =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 . 3 12 . 4 . 4 12 7

3 . 4 . 3 . 4 12 3 . 3 12 4 . 4 144 7 2

a Q a Q

a a Q Q a Q a Q

⇔ − + − + =       ⇔ − − + − + − + =

0,50

+) Do 3 a − và 4 a − là hai số nguyên liên tiếp nên ( )( ) 3 4 a a − − là số chẵn. Do đó

VT của (2) là số chẵn, nhưng VP của (2) là số lẻ, điều này mâu thuẫn. Vậy giả sử trên sai. Suy ra đa thức ( ) 12 f x − không có nghiệm nguyên.

0,50

2) Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng.

Hướng dẫn chấm Điểm +) Gọi 3 số nguyên tố cần tìm là , , a b c . Khi đó, ta có: ( ) . . 5 . . 5 a b c a b c a b c = + + ⇒  +) Vì , , a b c có vai trò …