Đề học sinh giỏi Toán 9 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Nha Trang - Khánh Hòa

Lớp TOÁN (Online, offline) NBV 2

ÔN THI VÀO 10 & ĐẠI HỌC (ONLINE & OFFLINE) ZALO: 0384 93 77 30 (BÁ VINH)

Bài 1 (6 điểm)

a) Cho ( ) 2 2 2 0, 0 x y xy y x y − = ≠ + ≠ . Tính x y A x y − = +

Cách 1: (mình cho là cách giải bao quát nhất, áp dụng được cho nhiều dạng toán 2 ẩn)

Đặt ( ) x ky k = ∈, suy ra 1 k ≠−vì 0 x y + ≠ và 0 k ≠ vì 0 y ≠

Khi đó ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 x y xy k y y ky y k k − = ⇔ − = ⇔ − − =

0 2 1( ) 2 2

y k l k k k

≠ = −  ←→ − − ⇔= 

Với 2 k = : 2 x y = , khi đó 2 1 2 3 y y A y y − = = +

Cách 2: (tạo nhân tử)

( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x y xy x y xy y x y x y y x y − = ⇔ − = + ⇔ − + = +

( )( ) 0 2 0 2 x y x y x y x y + ≠ ⇔ + − = ←→ =

Cách 3: (Kỹ thuật đồng bậc)

Từ giả thiết

2 2

: 2 2 1( ) 2 2 2 2

y

x l y x x x y xy x y x y y y

 = −     − = ←→ − = ⇔ ⇔ =      = 

Cách 4: (kỹ thuật coi 1 biến làm ẩn)

Từ giả thiết

2 2 2 2 2 . 2 0 x y xy x y x y − = ⇔ − − = (*), với ( ) 2 2 2 8 9 y y y ∆= − + =

Suy ra ( )

2 3 * 2 ( ) 2 2

y y y y x x y y l  ± ∆ ± ⇔ = = = ⇔ = − 

Cách 5:

Lớp TOÁN (Online, offline) NBV 3

ÔN THI VÀO 10 & ĐẠI HỌC (ONLINE & OFFLINE) ZALO: 0384 93 77 30 (BÁ VINH)

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2 2 2 y x y x y x y xy y y A x y x y x y x y x y

+ − − + = = = = = + + + + +

Suy ra 2 x y y x y − = ⇒ =

b) Cho ba số , , x y z thỏa 1 xyz = và 1 1 1 x y z x y z + + = + + . Chứng minh trong ba số , , x y z có một

số bằng 1.

Cách 1: (Phương pháp phản chứng)

Giả sử trong ba số , , x y z không có số nào bằng 1, nghĩa là ( ) ( ) ( ) , , 1 1 , 1 , 1 0 x y z x y z ≠⇒ − − − ≠

Suy ra ( )( )( ) ( )( ) 1 1 1 0 1 1 0 x y z xy x y z − − − ≠ ⇔ − − + − ≠

 1 1 0 xyz xy xz x yz y z

x y z xy yz zx

= ⇔ − − + − + + −≠

⇔ + + ≠ + +

Mặt khác, từ giả thiết 1 1 1 x y z x y z + + = + + , ta suy ra x y z xy yz xz + + = + +

Ta dẫn đến một sự mâu thuẫn

Do đó, điều giả sử trên là sai

Vậy ta được đpcm.

Lời bình: Lời giả sau đây là sai

“Vì , , 1 x y z ≠ nên 1 xyz ≠ (trái với gt) nên ta suy ra đpcm”

Vì sao lời giải trên là sai ?

Cách 2: (Phương pháp trực tiếp)

Để chứng minh trong ba số , , x y z có một số bằng 1,

Ta phải chứng minh biểu thức ( )( )( ) 1 1 1 0 A x y z = − − − =

Lớp TOÁN (Online, offline) NBV 4

ÔN THI VÀO 10 & ĐẠI HỌC (ONLINE & OFFLINE) ZALO: 0384 93 77 30 (BÁ VINH)

Thật vậy, ( )( ) 1 1 0 A xy x y z ⇔ − − + − =

 1 1 0 xyz xy xz x yz y z

x y z xy yz zx

= ⇔ − − + − + + −=

⇔ + + = + +

Mặt khác, từ giả thiết 1 1 1 x y z x y z + + = + + , ta suy ra x y z xy yz xz + + = + +

Vậy ta được đpcm.

Cách 3: (Nguyên lý “đi dép lê” Dirichlet)

Vì 1 , , 0 xyz x y z = ⇒ ≠

Vì chỉ có 2 dấu + và -, mà có tới 3 số , , x y z nên tồn tại 2 trong 3 số ấy cùng dấu

Không mất tính tổng quát, ta giả sử 2 số ấy là ,x y ,

• Trường hợp 1: , 0 x y >

Vì 1 xyz = nên 0 z >

Nếu cả , , 1 x y z > thì 1 xyz > (trái với gt)

Nếu cả 0 , , 1 x y z < < thì 1 xyz < (cũng trái với gt)

Như vậy, phải có 1 số trong 3 số ấy bằng 1 (đpcm)

• Trường hợp 2: , 0 x y <

Vì 1 xyz = nên 0 z > , suy ra , 0 x y z < <

Từ đây ta thấy, nếu trong 3 số có 1 số bằng 1 thì số đó là z

Nếu 1 z > thì

Từ 1 1 1 1 1 1 1 1 ; xyz z xy x y x y xy y x x y = ⇒ = > ⇒ < ⇒ > > ⇒ + > +

Từ giả thiết ( ) 1 1 1 1 1 1 x y z x y z x y z x y z   + + = + + ⇒ + − + = −    