Đề học sinh giỏi tỉnh Toán THCS năm 2021 - 2022 sở GDĐT Quảng Nam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NAM

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS

NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19/4/2022

Câu 1. (4,0 điểm)

a) Cho biểu thức 3 2 2 3 A 1 4 3 x x x x x x x x         

, với 0 x  và 1. x 

Rút gọn biểu thức A và tìm x để A 3. x  

b) Tìm giá trị của tham số m để phương trình 2 2 2( 2) 1 0 x m x m     có hai nghiệm

phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 1 2. x x x x  

Câu 2. (4,0 điểm)

a) Giải phương trình 2 3 2 (2 )(3 ) 7 0. x x x x        

b) Giải hệ phương trình 2 2 (2 )( ) 2

. 4 2 2 4 2

x y x y y

x y x y xy

          

Câu 3. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = 4cm. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, AC và BN. Điểm D thuộc đoạn thẳng AM sao cho AM = 4AD.

a) Tính diện tích tam giác DMN.

b) Chứng minh tam giác DIN vuông cân.

Câu 4. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), nội tiếp trong đường tròn (O). Dựng các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC. Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại M và N (M, N lần lượt nằm trên cung nhỏ AB, AC). Gọi I là giao điểm của BM và DF, J là giao điểm của CN và DE.

a) Chứng minh EB là tia phân giác của  DEM.

b) Chứng minh AM = AN.

c) Chứng minh tứ giác MNJI nội tiếp trong đường tròn.

Câu 5. (5,0 điểm) a) Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho tổng của số đó với tổng các chữ số của nó bằng 2023.

b) Cho ba số thực dương , , x y z thỏa mãn 1. xyz  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 3

2 2 2 1 1 1 . x y z x y z y z x z x y             H

---------- HẾT ----------

* Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. * Họ và tên thí sinh: ………………………………….. Số báo danh: ……........

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 1/7

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NAM

KỲ THI HỌC SINH CẤP TỈNH THCS

Năm học 2021 - 2022

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN

Môn: TOÁN (Hướng dẫn chấm này có 07 trang) Câu Đáp án Điểm

Câu 1 (4,0 đ)

a) Cho biểu thức 3 2 2 3 A 1 4 3 x x x x x x x x         

, với 0 x  và 1. x  Rút gọn biểu

thức A và tìm x để A 3. x  

2,5

3 2 2 2 ( 1) 2( 1) 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x             

( 1) 2 1 x x

x

  



0,75

2 3 ( 1)( 3) 1 4 3 ( 1)( 3) 1 x x x x x x x x x x            

0,75

( 1) 2 1 1 A 1 1 1 1 x x x x x x x x             

0,5

A 3 1 3 2 0 x x x x x          ( 1)( 2) 0 x x    

2 0 x    4. x   Đối chiếu điều kiện suy ra 4 x  là giá trị cần tìm.

0,5

b) Tìm giá trị của tham số m để phương trình 2 2 2( 2) 1 0 x m x m     có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 1 2. x x x x   1,5

2 2 ' ( 2) 1.( 1) 4 3 m m m       0,25

+ Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi ' 0  3 4 3 0 4 m m      0,25

2 1 2 1 x x m  , 1 2 2( 2) x x m    0,25

1 2 2( 2) 0 x x m     (vì 3 5 2 2( 2) 0 4 4 m m m        )

2 1 2 1 0 x x m  

Suy ra 1 2 0, 0. x x  

0,25

Khi đó 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 0 x x x x x x x x x x x x         

2 2 1 2( 2) 0 2 3 0 m m m m        

2 1 1 2( 2) 0 3

m m m m

        

Đối chiếu điều kiện suy ra giá trị m cần tìm là 3. m 

0,5

* Cách khác: 2 2 ' ( 2) 1( 1) 4 3 m m m      

+ Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi ' 0  3 4 3 0 4 m m     

Vì 2 1 2 1 0 x x m   nên ta có

 

2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 ( ) x x x x x x x x x x x x x x         

2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x x         

2 2 2 2( 2) ( 1) m m     (Giải tìm được giá trị của m, đối chiếu điều kiện để kết luận)