Đề học sinh giỏi Toán 9 năm 2021 - 2022 phòng GDĐT thành phố Bắc Ninh

UBND THÀNH PHỐ BẮC NINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2021-2022

Môn: Toán - Lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

Câu 1. (4,0 điểm)

1) Cho

3 3 2 4 x   . Tính giá trị biểu thức 5 3 2 5 6 6 3 A x x x x      .

2) Cho Parabol 2 ( ) : P y x  và đường thẳng ( ) : 4 d y mx   (m là tham số). Chứng minh đường thẳng ( ) d luôn cắt đồ thị ( ) P tại hai điểm phân biệt , A B . Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 8 . Câu 2. (4,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình

2 ( 3) 4( 1)(3 )

5 3 2 2 2 2

x y y x

x y xy y

             

.

2) Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn 1 1 1 a b c   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 1 4 P a b c a b c       .

Câu 3. (4,0 điểm) 1) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho mỗi số 26 n  và 11 n  đều là các lập phương của một số nguyên dương. 2) Tìm tất các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước số tự nhiên của 4 p là một số chính phương. Câu 4. (7,0 điểm) 1) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn   ; O R có , B C cố định. Các đường cao

, , AD BE CF của tam giác ABC đồng quy tại H . Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài của

 BHC cắt , AB AC lần lượt tại , M N . a) Chứng minh rằng tam giác AMN cân.

b) Chứng minh OA vuông góc với EF ; . AD BC DE EF FD R    .

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác của  BAC tại K   K A  .

Chứng minh rằng HK luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi. 2) Cho hình vuông ABCD và MNPQ có bốn đỉnh , , , M N P Q lần lượt thuộc các cạnh

, , , AB BC CD DA của hình vuông. Chứng minh rằng ABCD S ≤   .

4

AC MN NP PQ QM   

.

Câu 5. (1,0 điểm) Cho mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bằng một trong hai màu xanh, đỏ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác mà ba đỉnh và trọng tâm cùng màu.

---------- HẾT ----------

UBND THÀNH PHỐ BẮC NINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

(Hướng dẫn có 04 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2021-2022

Môn: Toán - Lớp 9

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Câu Đáp án Điểm 1.1. (2,0 điểm)

3 3 3 2 4 6 6 0 x x x 1,0

5 3 2 3 2 5 6 6 3 6 6 1 9 A x x x x x x x

3 A . Vậy 3 A

1,0

1.2. (2,0 điểm)

Phương trình hoành độ giao điểm của d và P là: 2 2 4 4 0 x mx x mx .

Ta có 2 16 0 m , với mọi m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt, suy ra đường thẳng d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt.

d luôn đi qua điểm cố định 0;4 I nằm trên trục tung. Ngoài ra nếu gọi 1 1 2 2 ; , ; A x y B x y

thì 1 2 . 4 0 x x nên hai giao điểm , A B nằm về hai phía trục tung.

1,0

Giả sử 1 2 0 x x thì ta có 1 1 . . 2 2 OAB OAI OBI S S S AH OI BK OI với , H K lần lượt

là hình chiếu vuông góc của điểm , A B trên trục Oy . Ta có

1 1 2 2 4, , OI AH x x BK x x . Suy ra 2 1 2 OAB S x x

2 2 2

1 2 1 2 1 2 4 4 4 OAB S x x x x x x . Theo định lý Viet ta có:

1 2 1 2 , 4 x x m x x . Thay vào ta có: 2 2 4 16 64 0 OAB S m m .

1,0

2.1. (2,0 điểm)

2 ( 3) 4( 1)(3 ) 1

5 3 2 2 2 2 2

x y y x

x y xy y

Điều kiện: 2 ; 3;3 3 y x y x .

Phương trình (1) tương đương 2 ( 3) 4( 1)(3 ) x y y x

2 2 2 2 6 9 12 12 4 4 2 (5 2 ) 12 12 9 0 x x y y xy x x x y y y Coi đây là phương trình bậc 2 của x ta có:

2 2 2 ' (2 5) 12 12 9 4 4 y y y y

suy ra 5 2 (4 4) 6 9 5 2 (4 4) 2 1 x y y y x y y y

Trường hợp 1: 6 9 x y . Do 3 x 6 9 3 1 y y suy ra phương trình vô nghiệm.

1,0

Trường hợp 2: 2 1 x y thay vào phương trình 2 của hệ ta có: 1,0