Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm học 2021 - 2022 sở GDĐT Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ

Năm học 2021 – 2022

Môn: TOÁN Ngày thi: 24 tháng 3 năm 2022 Thời gian làm bài: 150 phút

Bài I. (5,0 điểm)

1) Giải phương trình 3 3 1 3 x x x + + + = + .

2) Cho , , a b c là các số thực khác 0, thỏa mãn 2 2 a ab c bc + = + và 2 2 a ac b bc + = + .

Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 a b c K b c a     = + + +        

.

Bài II. (5,0 điểm)

1) Tìm tất cả các số tự nhiên , m n thỏa mãn 2 3 2022 m n + = .

2) Tìm tất cả số nguyên tố p để phương trình 3 3 3 1 x y xy p + − + = có nghiệm nguyên dương.

Bài III. (2,0 điểm)

Với các số thực , , a b c thỏa mãn 0 , , 1 a b c ≤ ≤ và 2 a b c + + = , tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của biểu thức 1 1 1 ab bc ca P ab bc ca = + + + + + .

Bài IV. (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn ( ) AB AC < , nội tiếp đường tròn ( ) O . Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại trực tâm H . Gọi K, Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với hai đường thẳng AH, AO.

1) Chứng minh  90o AQE = .

2) Gọi I là trung điểm của . AH Chứng minh 2 . IE IK ID = .

3) Gọi R, J lần lượt là trung điểm của BE, CF. Chứng minh JR vuông góc với QD.

Bài V. (2,0 điểm)

1) Tìm tất cả các số nguyên ,a b sao cho số ( )( ) 3 3 a b b a + + là lập phương của một số nguyên tố.

2) Trên bảng ta viết số tự nhiên 222...2 gồm 2022 chữ số 2. Mỗi bước ta chọn 22 chữ số liên tiếp nào đó có chữ số ngoài cùng bên trái bằng 2, rồi biến đổi các chữ số được chọn theo qui tắc: chữ số 2 đổi thành chữ số 0 còn chữ số 0 đổi thành chữ số 2.

a) Chứng minh mọi cách thực hiện đều phải dừng lại sau một số hữu hạn bước.

b) Giả sử sau khi thực hiện được n bước thì không thể thực hiện được thêm bước nào nữa. Chứng minh n là số lẻ.

-------------------- Hết -------------------

Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ tên thí sinh :………………………………………. Số báo danh : ……………………………………

1

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 24 tháng 3 năm 2022

CÂU Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM

I

1

Giải phương trình 3 3 1 3. x x x      (2,5 điểm)

Điều kiện xác định: 1 . 3 x  0,5

Phương trình đã cho đưa về    7 4 3 3 5 4 3 1 0 x x x x         0,5

   

2 2 3 2 3 1 2 0 x x        0,5

Lập luận để dẫn tới 3 2

3 1 2

x

x

      

0,5

1. x   Kết hợp điều kiện xác định: phương trình có nghiệm là 1. x  0,5

2

Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 . a b c P b c a                

(2,5 điểm)

Từ giả thiết suy ra         ; . b c c a a b a a b c b c a a c b b c a b c             0,5

TH1: 0 a b c    suy ra ; ; a b c b c a c a b      . 0,5

Do đó 1 ;1 ;1 . a a b c b a c b b b b c c a a            Suy ra . . 1. c a b P b c a      0,5

TH2: 0 1 1 1 . b c c a a b a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c               0,5

Suy ra 1 1 1 8. a b c P b c a                 

0,5

II

1 Tìm tất cả các số tự nhiên , m n sao cho 2 3 2022 . m n   (3,0 điểm)

Giả sử , m n là hai số tự nhiên thỏa mãn 2 3 2022 . m n  

TH1: 0 : m  LOẠI vì 2 03 2022 2023 n    không phải là một sốchính phương.

0,5

TH2: 1 : m  2 1 2 3 2022 2025 45 45. n n       0,5

TH3: 2. m  Khi đó 2 2 3 2022 3 3. m n n      0,5

dẫn tới 2 9 n hay 3 2022 9. m   0,5

Điều này vô lí vì 3 9, m  còn 2022 không chia hết cho 9. 0,5 Kết luận, 1, 45. m n   0,5

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ

Năm học 2021 – 2022 ĐỀCHÍNH THỨC