Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2021 - 2022 phòng GDĐT quận Hai Bà Trưng - Hà Nội

UBND QUẬN HAI BÀ TRƯNG

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN

VĂN HÓA VÀ MÔN KHOA HỌC CẤP QUẬN

MÔN: TOÁN 9

Năm học: 2021 - 2022

Ngày thi: 17/02/2022

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài I. (5,0 điểm)

1) Giải phương trình:

2 4 3 1 6 0 x x x   . 2) Cho , , x y z là các số thực khác 0 và thỏa mãn điều kiện: 0. xy yz zx    Tính giá trị của

biểu thức . x y y z z x A z x y      

Bài II. (5,0 điểm)

1) Cho a,b,c là các số nguyên thoả mãn 3 3 3 2021 . a b c   Chứng minh a+ b+ c chia hết cho 6 .

2) Tìm các số nguyên ,x y thỏa mãn

3 2 2 5 0. x x y x y    Bài III. (2,0 điểm)

Cho các số thực ,x y thỏa mãn 2 . x x y y    Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

biểu thức 1

1 P x y

x y      

Bài IV. (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn  O đường kính . AK Các đường cao , , AD BE CF cắt nhau tại H . Đường thẳng EF cắt đường tròn  O tại hai điểm , P Q ( P và

C khác phía đối với AB ). Gọi M là trung điểm BC .

1) Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành, từ đó suy ra . OAC BAH  2) Chứng minh

2 2 . . AP ADOM  3) Dây KQ cắt BC tại L . Chứng minh , AL HQ cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF . Bài V. (2,0 điểm)

1) Cho x là số nguyên dương. Tìm tất cả số nguyên dương n để  

2 4 1 nx x   là số chính phương.

2) Trong buổi lễ tuyên dương học sinh tiêu biểu lớp 9 của quận Hai Bà Trưng, có 20 học sinh nam và 22 học sinh nữ của các trường được vinh dự tham gia. Người ta nhận thấy trong các học sinh đó:

 Không có học sinh nam nào quen tất cả các học sinh nữ  Mỗi học sinh nữ quen ít nhất một học sinh nam Chứng tỏ rằng: Tồn tại hai học sinh nam A, B và hai học sinh nữ M, N sao cho A và M quen nhau, B và N quen nhau, nhưng A và N không quen nhau, B và M không quen nhau.

----- HẾT -----

Lưu ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên: ............................................................. Số báo danh: .................... Trường THCS

.........................................

UBND QUẬN HAI BÀ TRƯNG

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN

VĂN HÓA VÀ MÔN KHOA HỌC CẤP QUẬN

MÔN: TOÁN, LỚP 9

Năm học: 2021 - 2022

Ngày thi: 17/02/2022

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

(Hướng dẫn chấm gồm 4 trang)

Bài I. (5 điểm)

1) (2,5 điểm) Giải phương trình:

2 4 3 1 6 0 x x x   .

ĐKXĐ: 1. 3 x  (0,5 điểm)

Ta viết lại phương trình thành:    2 2 1 3 1 4 3 1 4 0 x x x x      

   

2 2 1 3 1 2 0 x x     

(1,0 điểm)

 

 

2

2 1 0

1 3 1 2 0

x

x x

       

  

. (TM ĐKXĐ) (1,0 điểm)

2) (2,5 điểm). Tính giá trị của biểu thức: . x y y z z x A z x y      

Ta có:

3 x y y z z x x y z x y z x y z A z x y z x y                 (0,5 điểm)

Từ đó biến đổi được

 1 1 1 3 A x y z x y z            

(0,5 điểm)

Với giả thiết z 0 xy yz x    ta có   z . 3 3. xy yz x A x y z xyz       (0,5 điểm)

Bài II. (5 điểm)

1) (2,5 điểm) Chứng minh a+ b+ c chia hết cho 6 .

Ta có: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2021 2022 6 6 a b c a b c c a b c          (0,5 điểm)

Mặt khác, ta dễ dàng chứng minh được n3 - nM6 (1,0 điểm)

Từ đó a3 + b3 + c3 - a + b+ c ( ) = a3 - a ( )+ b3 - b ( )+ c3 - c ( )M6

Do đó a+ b+ c chia hết cho 6. (1,0 điểm)

2) (2,5 điểm) Tìm các số nguyên ,x y thỏa mãn

3 2 2 5 0. x x y x y   