Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán THCS năm 2021 - 2022 sở GDĐT Thanh Hóa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2021 - 2022 MÔN THI: TOÁN - THCS

Ngày thi: 26/12/2021 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có 01 trang) Câu I (4,0 điểm).

1. Rút gọn biểu thức

3 2 2 2 2 1 x x x P xy y x x xy y x − = + ⋅ − + − − − , với 0; 0; 4 ; 1. x y x y x ≥ > ≠ ≠ 2. Cho , , a b c là các số thực dương thoả mãn điều kiện 2 1 a b c abc + + + = . Tính giá trị biểu

thức (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 2020. Q a b c b c a c a b abc = − − + − − + − − − + Câu II (4,0 điểm).

1. Giải phương trình ( ) ( ) 5 2 3 6 6 3 2 7 19 2 x x x x x − − = − + − − .

2. Giải hệ phương trình

2 2

2 4 2 2

2 6

1 2 12

x x y y

x y x x y y

 + = −  +  + + = − 

.

Câu III (4,0 điểm).

1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( , ) a b thỏa mãn phương trình

3 3 3 4 4 4 4 4 4 . b b b b b a + − = + + + − +

2. Cho ba số tự nhiên , , a b c thỏa mãn a b − là số nguyên tố và 2 3 ab bc ca c + + = .

Chứng minh 8 1 c + là số chính phương. Câu IV (6,0 điểm).

Cho nửa đường tròn ( ) O;R đường kính AB và C là điểm thay đổi trên nửa đường tròn đó ( C khác A và B). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn vẽ các tia tiếp tuyến

Ax và By . Tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn cắt các tia Ax , By theo thứ tự tại D , E . Gọi I là giao điểm của AE và BD , CI cắt AB tại H .

1. Chứng minh CH song song với BE và I là trung điểm của đoạn thẳng CH . 2. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB tại K . Chứng minh rằng . . KA KB CH CO = .

3. Qua C vẽ đường thẳng song song với AB cắt tia By tại F . Gọi M là giao điểm của

AF và BC . Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn ( ) O;R sao cho tam giác ABM có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R. Câu V (2,0 điểm). Cho ,a b là các số thực dương. Chứng minh rằng

2 3 1 1 1 (1 )(1 ) a b ab ab a b ab ab a b a b ab + + + + + + ≥ + + + + + .

------------- HẾT -------------- Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD……………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC: 2021-2022

HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: TOÁN – THCS (Hướng dẫn chấm có 06 trang)

Câu NỘI DUNG Điểm I 4,0 điểm

1. Rút gọn biểu thức

3 2 . 2 2 2 1 x x x P xy y x x xy y x − = + − + − − −

, với 0; 0; 4 ; 1. x y x y x ≥ > ≠ ≠ 2,0

Với 0; 0; 4 ; 1. x y x y x ≥ > ≠ ≠ Ta có:

( )

( ) ( )( )

1 2 . 1 2 1 2

x x x P x y x y x x y

− = + − − + −

0,5

( ) ( )

2

2 2

x x

y x y x y = − − −

0,5

( )

2

2

x xy

y x y

− = −

0,5

( ) ( )

2 . 2

x x y x x y y y x y

− = = = −

Vậy với 0; 0; 4 ; 1 x y x y x ≥ > ≠ ≠ thì . x P y =

0,5

2. Cho , , a b c là các số thực dương thoả mãn điều kiện

2 1 a b c abc + + + = . Tính giá trị biểu thức

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 2020. Q a b c b c a c a b abc = − − + − − + − − − +

2,0

Theo bài ra ta có: 2 1 2 1 a b c abc a abc b c + + + = ⇒ + = − − 0,5

Do đó (1 )(1 ) (1 ) a b c a b c bc − − = − − +

2 ( 2 ) ( ) a a abc bc a abc a abc = + + = + = + (vì , , 0 a b c> )

0,5

Tương tự: (1 )(1 ) b c a b abc − − = +

(1 )(1 ) c a b c abc − − = + 0,5

Khi đó

3 2020 2 2020 2021 Q a b c abc abc a b c abc = + + + − + = + + + + = Vậy 2021 Q=

0,5

II 4,0 điểm

1. Giải phương trình ( ) ( ) 5 2 3 6 6 3 2 7 19 2 x x x x x − − = − + − − . 2,0

Điều kiện xác định

2 3 6 6 0 1 3 2 0

x x x x

 − − ≥ ⇔ ≤− − ≥  0,25