Đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm 2020 - 2021 sở GDĐT Lào Cai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LÀO CAI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn: Toán

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi 16/03/2021

(Đề thi gồm 01 trang, 05 câu)

Câu 1 (4,0 điểm). Cho biểu thức 3 2 9 1 3 1 : 1 3 2 3 2 7 7

x x x x x P

x x x x x x x

                       

,

  0, 1 x x   .

a) Rút gọn biểu thức P .

b) Tìm x sao cho P nhận giá trị là một số nguyên.

Câu 2 (6,0 điểm).

a) Cho phương trình 2 2( 1) 2 5 0, x m x m      (x là ẩn,m là tham số). Tìm m để

phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 2 2 x x   .

b) Lúc 7 giờ sáng một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B với khoảng cách là

18 km . Sau khi đi được 1

3 quãng đường do xe bị hỏng nên người đó phải dừng lại sửa mất 20 phút

rồi đi tiếp trên đoạn đường còn lại với vận tốc kém vận tốc lúc đầu là 8 km/h . Khi đến B người đó

nghỉ lại 30 phút rồi trở về A với vận tốc bằng một nửa vận tốc đi trên 1

3 quãng đường AB đầu tiên.

Biết người đó trở về A lúc 10 giờ 20 phút sáng cùng ngày. Hỏi xe đạp hỏng lúc mấy giờ?

c) Giải hệ phương trình  

2 2

3

1 1

2 1.

x y xy y

y x y

          

Câu 3 (6,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn có AB AC  . Gọi D là trung điểm của BC . Hai

đường cao BE và CF cắt nhau tại H . Đường tròn tâm O ngoại tiếp BDF  và đường tròn tâm

O ngoại tiếp CDE  cắt nhau tại I (I khác D ), EF cắt BC tại K . Chứng minh

a) Tứ giácAEIF nội tiếp.

b) Tam giác DCA đồng dạng với tam giácDIC .

c) Ba đường thẳng , , BE CF KI đồng quy.

Câu 4 (2 điểm). Cho 3 số thực dương , , a b c thỏa mãn: 2 2 2 1 1 1 1. a b c    Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a b b c a c P

c a b a b c b a c      

.

Câu 5 (2,0 điểm). Giải phương trình nghiệm nguyên: 4 3 2 2 2 2 0 y y y y x x       .

-----------------------HẾT-----------------------

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay!

Chữ ký của giám thị số 1:………………........... Chữ ký của giám thị số 2:………………........

ĐỀCHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LÀO CAI

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn Toán

(Đáp án gồm 6 trang, 05 câu)

I. Hướng dẫn chung

1. Nếu thí sinh giải theo cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa câu đó.

2. Nếu thí sinh giải theo cách khác nhưng chưa hoàn thiện lời giải thì giám khảo chỉ cho

điểm những ý làm được nếu chỉ ra được lời giải hoàn thiện theo hướng làm đó.

3. Bài hình học không vẽ hình hoặc vẽ sai hình (theo từng ý) thì không chấm điểm.

4. Trong một bài toán nếu có nhiều ý mà các ý có liên quan đến nhau, nếu thí sinh không

làm được ý trước thì không được sử dụng kết quả của ý đó để làm ý sau.

II. Hướng dẫn chấm chi tiết

Câu 1 (4,0 điểm). Cho biểu thức 3 2 9 1 3 1 : 1 3 2 3 2 7 7

x x x x x P

x x x x x x x

                       

,

  0, 1 x x   .

a) Rút gọn biểu thức P .

b) Tìm x sao cho P nhận giá trị là một số nguyên.

Ý Nội dung Điểm

a)

  

3 2 9 1 3 1 : 1 3 2 7 7 1 3 2

x x x x P

x x x x x x

                            

0,5

   

  

  3 3 2 2 1 9 1 7 1 .

3 1 1 3 2

x x x x x x x

x x x

       

  

0,5

3 1 7 . 3 2 3 1

x x

x x

 

 

0,5

7

3 2

x

x 



0,5

b) 0, 1 0 x x x      7 0 3 2

x P

x    

0,5