Đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm 2020 - 2021 sở GDĐT Bắc Ninh

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn thi: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (4,0 điểm)

1. Cho 1 + + = x y z a b c và 0 + + = a b c x y z . Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2 2 1. + + = x y z a b c

2. Cho biểu thức 2 2 1 1 + − + = + − − +

x x x x x P

x x x x x

.

a. Rút gọn P . b. Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi 4 x ≥ . Câu 2 (2,0 điểm): Cho phương trình: 2 2 2 6 0 − + − − = x mx m m (m là tham số). 1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm. 2. Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm 1x và 2 x sao cho 1 2 8 x x + = .

Câu 3 (4,0 điểm)

1. Giải hệ phương trình:

3 2 2

2 2 2 2

1 4 4 1 3 2

 + + = + +  + + − + = 

x xy x x y y y

x y x y

.

2. Tìm các số tự nhiên , , x y z sao cho 2 2 2 3 3 2z x y z xy y + + + < + + Câu 4 (2,0 điểm): Cho ba số dương , , a b c thỏa mãn 9 a b c + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức:

3 2 3 2 3 2 5 3 18 5 3 18 5 3 18

a b c P b b b c c c a a a = + + + − + + − + + − +

Câu 5 (6,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại ( ) < A AB AC ngoại tiếp đường tròn tâm O .

Gọi , , D E F lần lượt là tiếp điểm của ( ) O với các cạnh , , AB AC BC . Đường thẳng BO cắt các

đường thẳng , EF DF lần lượt tại , . I K

1. Tính số đo góc BIF . 2. Giả sử M là điểm di chuyển trên đoạn . CE a. Khi = AM AB , gọi H là giao điểm của BM vàEF . Chứng minh rằng ba điểm , , A O H

thẳng hàng. b. Gọi N là giao điểm của đường thẳng BM với cung nhỏ EF của ( ) O ; , P Q lần lượt là

hình chiếu của N trên các đường thẳng DE và DF . Xác định vị trí điểm M để độ dài đoạn thẳng PQ lớn nhất. Câu 6 (2,0 điểm)

1. Cho 19 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng nằm trong một hình lục giác đều có cạnh bằng 1. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác có ít nhất một góc không lớn hơn 450

và nằm trong đường tròn có bán kính nhỏ hơn 3 5 .

2. Tìm các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn 1 < < < a b c và

( )( )( )

1 1 1 1 − = − − − abc P a b c

nhận

giá trị nguyên.

====== Hết ======

Họ và tên thí sinh :..................................................... Số báo danh:……....................

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn thi: TOÁN 9

Câu 1 Đáp án Điểm

1.1 1,5 điểm Cho và . Chứng minh rằng :

ĐK:

Từ ayz + bxz + cxy = 0 0.5

Ta có 0.5

0.5

1.2 2,5 điểm

Cho biểu thức

a. Rút gọn P. b.Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi .

a. Điều kiện: 0 1 ; . x x > ≠

0.5

0.5

0.5

b.

Áp dụng AM-GM

Dấu bằng xảy ra khi x=4. Vậy GTNN của P = 7 khi x=4

0.5

0.5

Câu 2. 2,0 điểm

Cho phương trình: 2 2 2 6 0 − + − − = x mx m m ( m là tham số). a. Tìm m để phương trình có hai nghiệm. b. Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm 1x và 2x sao cho 1 2 8 + = x x ?

2.a 0.5 điểm

Phương trình: 2 2 2 6 0 − + − − = x mx m m có hai nghiệm thì: ( ) 2 2 ' 6 6 0 6 ∆= − − − = + ≥ ⇔ ≥− m m m m m 0.5

2.b 1,5 điểm

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1 2

2 1 2

2

6

+ =   = − − 

x x m

x x m m Ta có

2 2 1 2 1 2 1 2 8 2 64 + = ⇔ + + = x x x x x x

( )

2 1 2 1 2 1 2 2 2 64 ⇔ + − + = x x x x x x

0.5

Trường hợp 1:

Nếu 1x và 2x cùng dấu thì: ( )( ) 1 2 2 6 0 6 2 3 0

≥−  ≥ ⇔ − − = + − ≥ 

m x x m m m m

6 2 3 −≤ ≤−  ⇔ ≥ 

m m (*)

Khi đó (1) ( ) 2 2 1 2 64 4 64 4 ⇔ + = ⇔ = ⇔ = ± x x m m (thỏa mãn (*)).

0.5

1 x y z a b c + + = 0 a b c x y z + + =

2 2 2

2 2 2 1 x y z a b c + + =

0. xyzabc ≠

ayz+bxz+cxy 0 0 a b c x y z xyz + + = ⇔ = ⇔

2 1 ( ) 1 x y z x y z a b c a b c + + = ⇔ + + =

2 2 2

2 2 2 2( ) 1 x y z xy xz yz a b c ab ac bc ⇔ + + + + + =

2 2 2

2 2 2 2 1 x y z cxy bxz ayz a b c abc + + ⇔ + + + =

2 2 2

2 2 2 1 x y z a b c ⇔ + + =

2 2 1 P = 1 x x x x x x x x x x + − + + − − +

4 x ≥

2 2 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)

2 2 1 1 2 2 2

x x x x x x x p x x x x x

x x x x x x x P x x x x

+ − + + + − + = + − − +

+ + + − + + + = + − =

2 2 2 2 3 ( ) 2 2 2 x x x P x x x + + = = + + +

2 3 2 . 4 2 7 2 2 x …