Đề thi học sinh giỏi Toán THCS cấp tỉnh năm 2020 - 2021 sở GDĐT Sơn La

SỞ GD&ĐT SƠN LA

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn thi: Toán Ngày thi: 14/3/2021 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (4,0 điểm). Cho hai biểu thức 2 1 3 11

9 3 3 x x x A x x x

       

và 3 1 x B

x

 



(với 0; 9 x x   ).

a) Tính giá trị của B tại

   

2 2

5 45 2021 5 45 2021 x    

.

b) Rút gọn A.

c) Tìm tất cả các số nguyên x để P = A.B nhận giá trị nguyên.

Câu 2 (4,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho đường thẳng : d   2 1 2 y m x m    và

parabol : P 2 y x  (m là tham số).

a) Tìm tọa độ các giao điểm của  d và  P khi 2 m  .

b) Tìm m để  d và  P cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x sao cho

biểu thức 2 2 1 2 1 2 E x x x x    đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 3 (4,0 điểm).

a) Giải hệ phương trình

2 2

2 3 2 2 8 6 1. 8 1

y xy x x

y x x x

          

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 2 2 2 3 4 0. x y xy y      Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác ABC có góc A tù. Vẽ đường tròn  O đường kính AB và

đường tròn  ' O đường kính AC . Đường thẳng AB cắt đường tròn  ' O tại điểm thứ hai là

, D đường thẳng AC cắt đường tròn  O tại điểm thứ hai là E .

a) Chứng minh bốn điểm , , , B C D E cùng nằm trên một đường tròn. b) Gọi F là giao điểm thứ hai của hai đường tròn  O và  ' O ( F khác A). Chứng minh ba điểm , , B F C thẳng hàng và FA là phân giác của góc . EFD c) Gọi H là giao điểm của AB và EF. Chứng minh . . BH AD AH BD  .

Câu 5 (2,0 điểm). Cho 3 số thực dương , , a b c thỏa mãn 2 2 2 1 1 1 1 a b c   . Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 . ( ) ( ) ( ) b c c a a b P a b c b c a c a b      

-------------Hết-------------

Thí sinh không sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……………………………………………..Số báo danh: …………...

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GD&ĐT SƠN LA (HD chấm có 04 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn: Toán

Câu Ý Nội dung Điểm

1

1.a

Ta có:

   

2 2

5 45 2021 5 45 2021 x    

      

2 45 2021 2 45 2021

5 45 2021 45 2021

   

    90 2 2021 90 2 2021 5 2025 2021     

180 9 20  

0,5

Thay 9 x  vào biểu thức B ta được: 3 9 3 3 3 0 3 1 1 9 1 x B

x

         

0,5

1.b

2 1 3 11

9 3 3 x x x A x x x

       

      

2 3 1 3 11 3

3 3

x x x x x

x x

      

 

0,5

  

2 6 3 3 11 3

3 3

x x x x x x

x x

       

 

0,5

  

    

3 3 3 9

3 3 3 3

x x x x

x x x x

       

3

3 x x 



với 0, 9 x x   0,5

1.c

Ta có: 3 3 . . 3 1 x x P A B

x x

  

 

= 3

1 x x 

=   3 1 3

1

x

x

 



=

3 3

1 x 



0,5

P  là số nguyên 3

1 x 



là số nguyên   3 1 x    0,5

Hay  1 x  Ư(3) = { 1 ; 3  }

...   0; 4 x  

0,5

2 2.a

Khi 2 m  đường thẳng (d) có dạng: 5 4 y x   0,25 Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

2 2 1 5 4 5 4 0 4

x x x x x x

         

0,25

Với 1 1; 4 16 x y x y      . 0,25

ĐỀ CHÍNH THỨC