Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2020 - 2021 sở GDĐT Nam Định

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn: Toán – Lớp: 9 Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề thi gồm: 01 trang) Câu 1: ( 3,0 điểm )

1) Cho    

3 4 7 4 3 3 3 1 : 1 3 2

a P a a a

a

                

với 0; 1; 4. a a a   

Rút gọn biểu thức . P

2) Tìm tất cả các số thực , , x y z thỏa mãn điều kiện   1 2 2 3 17 . 2 x y x z y z      

Câu 2. (5,0 điểm)

1) Giải phương trình 3 3 3 6 2 7 6 2 22 4 2 7. x x x x x      

2) Giải hệ phương trình

2 2

2 2 3 2

2 .

xy x y

x y y x

      

Câu 3. (3,0 điểm)

1) Tính tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn 2 0 x x a    với a là số nguyên tố.

2) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình  

2 2 3 1. x y y x z     

Câu 4. (7,0 điểm) Trên đường tròn  O lấy ba điểm , , A B C sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi

, , AD BE CF là các đường cao của tam giác ; ABC đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại P . Qua

D kẻ đường thẳng song song với đường thẳng EF cắt đường thẳng AC và AB lần lượt tại Q và , R

M là trung điểm của BC .

1) Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh hai tam giác EPM và DEM đồng dạng.

3) Giả sử BC là dây cung cố định không đi qua tâm O , A di động trên cung lớn BC của đường

tròn . O Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 5. (2,0 điểm)

1) Cho 2021 số tự nhiên từ 4 đến 2024 trên bảng, mỗi lần thay một hoặc một vài số bởi tổng các

chữ số của nó cho đến khi trên bảng chỉ còn lại các số từ 1 đến 9. Hỏi cuối cùng, trên bảng có

bao nhiêu số 3, bao nhiêu số 7?

2) Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn 3 3 3 24. x y z    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 

2 2 8 . 1

xyz x y z M xy yz zx xy yz zx

         

------------Hết------------

Họ và tên thí sinh:..................................................... Số báo danh:...........................Ký tên: ............................

Họ, tên và chữ ký của GT 1:.....................................Họ, tên và chữ ký của GT 2:.............................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn: Toán – Lớp: 9

Câu

Đáp án Điểm

1.1 (1,5) Rút gọn    

3 4 7 4 3 3 3 1: 1 3 2

a P a a a

a

                

(1,5)

Tính được  

2 7 4 3 2 3 2 3      0,5

Tính được    

3 3 3 3 3 3 1 3 3 1 1 1 a a a a a a a a a          0,25

 

4 2 1 1 1 3 3 3 2

a a a

a

     

0, 5

Suy ra  

1 2 3 1 : 2 3 3 5 3 3 a P a           .

0,25

1.2 (1,5)

Tìm tất cả các số thực ; ; x y z thỏa mãn điều kiện   1 2 2 3 17 2 x y x z y z       . (1,5)

Điều kiện:

0

0

0

x

y x

z y

       

hay 0 x y z    .

0,5

Ta có   1 2 2 3 17 4 4 6 17 2 x y x z y z x y x z y z              0,25

4 4 6 9 4 4 x y x z y z y y x x              0,25

     

2 2 2 3 2 2 0 z y y x x          0,25

2 4

2 8

17 3

x x

y x y

z z y

                  

(thỏa mãn điều kiện)

KL:…

0,25

2.1 (2,5) Giải phương trình 3 3 3 6 2 7 6 2 22 4 2 7 x x x x x       . (2,5)

Điều kiện 3 2 7 0 x   hay 3 7 2 x  

0,5

  3 3 3 3 3 6 2 7 6 2 22 4 2 7 6 4 2 7 6 2 22 x x x x x x x x x            

Đặt 3 2 7 t x     0 t  thì 3 2 2 7 x t  

0,25

Phương trình trên trở thành     2 6 4 3 7 2 22 x t t x      0,25