Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2020 - 2021 sở GDĐT Ninh Bình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH NINH BÌNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn: TOÁN Ngày thi: 09/03/2021

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang Họ và tên thí sinh:................................................................... Số báo danh:...................................... Họ và tên, chữ ký: Giám thị thứ nhất:................................................................................................ Giám thị thứ hai:..................................................................................................

Câu 1 (5,0 điểm)

1. Cho phương trình: 2 2 x 2(m 1)x 4m m 0 − + + − = (1) ( x là ẩn, m là tham số).

a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt.

b) Giả sử 1 2 x ,x là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 A x - x = .

2. Giải hệ phương trình x 2021 y 4042

2021 x y 4042

 + − =  − + = 

.

Câu 2 (5,0 điểm)

1. Cho đa thức ( ) 2 f x x ax b(a,b ) = + + ∈ thỏa mãn ( ) f 1 1 = và ( ) f 0 3 > .

a) Chứng minh phương trình ( ) f x x = có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm số nghiệm của phương trình ( ) ( ) f f x x = .

2. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy 1 = . Chứng minh 1 1 2 3 x y x y + + ≥⋅ +

Câu 3 (7,0 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R . Dây cung BC cố định, không đi qua tâm O. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A ( A khác B ). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn

( ) O ( M và N là các tiếp điểm). Gọi I,H lần lượt là trung điểm của BC và MN, BC cắt MN tại K .

1. Chứng minh bốn điểm O,M, N,I cùng thuộc một đường tròn và HK là tia phân giác của  BHC.

2. Hai tiếp tuyến của đường tròn ( ) O tại B và C cắt nhau ở E. Chứng minh M, N,E thẳng hàng.

3. Đường thẳng ∆ qua điểm M và vuông góc với đường thẳng ON, cắt đường tròn ( ) O tại điểm

thứ hai là P . Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC để tứ giác AMPN là hình bình hành. Câu 4 (3,0 điểm)

1. Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: 2 y x 5x 7 3 . − + =

2. Cho một bảng ô vuông m n × (gồm m dòng và n cột). Cho

quy tắc tô màu bảng ô vuông như sau: Mỗi ô vuông đơn vị được tô

bằng màu đỏ hoặc màu xanh sao cho bất kì bảng ô vuông 2 3 × hoặc

3 2 × nào cũng có đúng hai ô được tô màu đỏ.

a) Hãy chỉ ra một cách tô màu theo quy tắc trên cho bảng ô vuông 4 6 × (Điền chữ Đ vào ô được

tô màu đỏ, chữ X vào ô được tô màu xanh).

b) Người ta đã tô bảng ô vuông 2021 2022 × theo quy tắc trên. Hỏi bảng ô vuông này có bao nhiêu

ô được tô màu đỏ?

-------------Hết------------

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH NINH BÌNH

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: Toán - Ngày thi 09/3/2021 (Hướng dẫn chấm này gồm 07 trang) I. Hướng dẫn chung

1. Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó. 2. Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau. 3. Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm những phần có liên quan đến hình sai hoặc thiếu đó.

4. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng vẫn cho điểm đủ từng phần như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do tổ chấm thống nhất.

5. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch và đảm bảo thống nhất thực hiện trong toàn hội đồng chấm.

6. Điểm toàn bài thi lẻ đến 0.25. II. Hướng dẫn chi tiết

Câu Đáp án Điểm

Câu 1

(5.0 điểm)

1. ( 3 điểm) Cho phương trình: 2 2 x 2(m 1)x 4m m 0 − + + − = (1) ( x là ẩn, m là tham số). a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt. b) Giả sử 1 2 x ,x là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 2 A x - x = .

a) ( 1.5 điểm)

Ta có: 2 2 2 Δ'=(m 1) (4m m )=2m 2m 1 + − − − + . 0.25

2 1 1 =2 m 0 , m 2 2   − + > ∀ ∈     

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m ∀ ∈.

0.25

Do đó phương trình có hai nghiệm dương phân biệt S 0

P 0

>  ⇔ > 

2 2(m 1) 0

4m m 0

+ >  ⇔ − > 

0.5

m 1 0 m 4. 0 m 4 > −  ⇔ ⇒ < < < < 

0.5

b) ( 1.5 …