Đề học sinh giỏi tỉnh Toán 9 năm 2020 - 2021 sở GDĐT Quảng Nam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi : Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 10/4/2021

Câu 1. (4,0 điểm)

a) Rút gọn các biểu thức sau:

13 30 4 9 4 2 A = + + − ;

( ) ( )

3 3

3 3 4 4 3 4 4 3 2 3 12 2 3 12 27 27 2 2 B

− − + − − − = + .

b) Tìm giá trị của tham số m để phương trình ( 1) 2 1 0 x x mx m − −− + = có hai nghiệm

phân biệt. Câu 2. (4,0 điểm)

a) Giải phương trình 4 3 2 3 1 4 4 . x x x + = −+ −

b) Giải hệ phương trình

2 2

2 2 4 1 0 . 3 ( ) 10 3 0

x y xy y

x y x y y

 + − + + =  − − + + = 

Câu 3. (2,5 điểm) Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 6cm, điểm M nằm trên cạnh BC.

a) Khi 2 BM cm = , hạ OK vuông góc với AM tại K. Tính độ dài đoạn thẳng OK.

b) Khi điểm M thay đổi trên cạnh BC (M không trùng B và C), điểm N thay đổi trên

cạnh CD sao cho  0 45 , MAN = E là giao điểm của AN và BD. Chứng minh tam giác AEM vuông cân và đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Câu 4. (4,5 điểm)

Cho hai đường tròn ( ; ) O R và ( ' ; ) O r tiếp xúc ngoài tại ( ). A R r > Dựng lần lượt hai

tiếp tuyến , ' OB O C của hai đường tròn ( ' ; ) O r , ( ; ) O R sao cho hai tiếp điểm , B C nằm

cùng phía đối với đường thẳng '. OO Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với ' OO cắt ' O C tại , K từ C vẽ đường thẳng vuông góc với ' OO cắt OB tại . H a) Gọi D là giao điểm của OB và ' . O C Chứng minh . ' . ' DO BO CO DO = và DA là tia

phân giác của góc '. ODO b) Đường thẳng AH cắt đường tròn ( ; ) O R tại E (E khác A). Chứng minh tứ giác OABE

nội tiếp đường tròn.

c) Đường thẳng AK cắt đường tròn ( ' ; ) O r tại F (F khác A), L là giao điểm của BC và

. EF Chứng minh BF song song với CE và 3 điểm , , A D L thẳng hàng.

Câu 5. (5,0 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( , ) x y thỏa mãn đẳng thức

3 3 2 2 3 3 3 6 0 x y x y xy x + + − − + = . b) Cho ba số thực dương , , x y z thỏa mãn 1. xyz = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 1 1 2 2 2 A x yz y zx z xy = + + ⋅ + + +

---------- HẾT ----------

Họ và tên thí sinh: ……………………………… Phòng thi: ……… Số báo danh: …….......

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 1/6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

Năm học 2020 - 2021

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN

Môn: TOÁN (Hướng dẫn chấm này có 06 trang) Câu Đáp án Điểm

Câu 1 (4,5 đ)

a) Rút gọn các biểu thức sau: 13 30 4 9 4 2 A = + + − ,

3 3

3 3 4(4 3) 4(4 3) 2 3 12 2 3 12 27 27 2 2 B

− − + − − − = + .

2,5

Ta có 13 30 4 9 4 2 A = + + − 2 13 30 4 (2 2 1) = + + − 0,25

13 30 3 2 2 = + + 13 30( 2 1) = + + 0,5

2 43 30 2 (5 3 2) 5 3 2 = + = + = + 0,5

Đặt

3 3

3 3 4(4 3) 4(4 3) 2 3 12 2 3 12 27 27 , 2 2 a b

− − + − − − = =

Suy ra 3 3 2 3 a b + = .

0,25

3

3 4(4 3) 12 12 27 4 3 . 4 3 a b

  − − −   −   = =

0,25

3 3 3 2 3 ( ) 3 ( ) 2 3 a b a b ab a b + = ⇔ + − + = 3 ( ) (4 3)( ) 2 3 a b a b ⇔ + − − + = 0,25

3 ( ) 4( ) 3( ) 2 3 0 a b a b a b ⇔ + − + + + − = ( 2) ( )( 2) 3 0 a b a b a b   ⇔ + − + + + + =   0,25

2 a b ⇔ + = ( vì 0, 0 a b > > ). Vậy 2 B = . 0,25 b) Tìm giá trị của tham số m để phương trình ( 1) 2 1 0 x x mx m − −− + = có hai nghiệm phân biệt.

1,5

Điều kiện: 1 2 x≥ 0,25

( 1) 2 1 0 ( 1)( 2 1 ) x x mx m x x m − −− + = ⇔ − −−

1 (thoa)

2 1

x

x m

=  ⇔ −= 

0,5

2 0 2 1 1 2

m x m m x

≥  −= ⇔ + = 

0,25

+ Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi 2 0 0 1 1 1 2

m m m m

≥  ≥   ⇔   + ≠ ≠  

0,5