Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 9 năm 2020 - 2021 sở GDĐT Lạng Sơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LẠNG SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 9 NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: Toán lớp 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 18/3/2021 (Đề thi gồm 01 trang, 05 câu)

Câu 1 (4,0 điểm).

Cho biểu thức: 2 : 1 1 1 1

                      

x y x y x y xy P xy xy xy

với 0; 0; 1. x y xy   

a) Rút gọn biểu thức . P b) Tính giá trị của P với 9 4 5.   y Câu 2 (4,0 điểm). Cho phương trình   2 2 2 3 0      mx m x m (m là tham số). a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm 1 2 , x x thỏa

mãn: 2 2 1 2

1 1 2. x x  

Câu 3 (4,0 điểm).

a) Giải hệ phương trình

2 2 2

2 1 2 2

xy x y x y

x y y x x y

         

b) Tìm tất cả các số nguyên dương , , x y z thỏa mãn phương trình

6 6 4 3 2 2 2 2 15 75 3 15 125. y y y z x z x z x y        Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn   ; . O R Gọi H là một điểm

di động trên đoạn thẳng OA ( H khác O và  HA HO ). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB tại . M Gọi K là hình chiếu vuông góc của M trên . OB a) Chứng minh .  BMK MAB b) Các tiếp tuyến của   ; O R tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của   ; O R lần lượt tại D và . E , OD OE cắt AB lần lượt tại F và . G Chứng minh rằng: . . .  OE OG OF OD c) Tìm vị trí điểm H để chu vi tam giác MAB đạt giá trị lớn nhất. Câu 5 (2,0 điểm).

a) Cho , , a b c là các số thực dương thoả mãn 2 2 2 1 1 1 6. a b c   

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức      

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 .       b c c a a b Q

a b c b c a c a b

b) Cho mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác mà ba đỉnh và trọng tâm cùng màu.

---------------------Hết---------------------

Họ và tên thí sinh: ………………………....................... Số báo danh: …………...........

Chữ kí giám thị số 1:……………….........Chữ kí giám thị số 2:…..................………....

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LẠNG SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 9 NĂM HỌC 2020 - 2021

HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN LỚP 9 THCS

(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

Chú ý: Những cách giải khác HDC mà đúng thì cho điểm theo thang điểm đã định. Câu Nội dung Điểm

1 (4đ)

a)      1 1 1 2 : 1 1

           

x y xy x y xy xy x y xy P xy xy

0,5

1 . 1 1              x x y y y x x x y y y x xy xy x y xy 0,5

    

2

1 1

    

y x y

x y 0,5

2 1   

y y 0,5

b)  

2 9 4 5 5 2     y 0,5

 

2 5 2 5 2     y 0,5

  2 5 2 5 5 1 9 4 5

     P 1,0

2 (4đ)

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu   3 0    m m 1,0 0 3. m    1,0 b) TH1. 0  m Phương trình 4 3 0   x (Không thỏa mãn yêu cầu) 0,5

TH2. 0  m Phương trình có hai nghiệm 1 2 , x x ' 0      2 2 3 0 4        m m m m 0,5

Khi đó

 

1 2

1 2

2 2

3

        

m x x m m x x m

và    

2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2

2 1 1 2 2 x x x x

x x x x

      0,5

 

2

2

2 2 3 2

2 1 ( / ). 3

                   

m m m m m t m m

m

0,5

3 (4đ)

a)

2 2 2 (1)

2 1 2 2 (2)

         

xy x y x y

x y y x x y

Điều kiện: 1, 0 x y   0,5

Khi đó:     1 2 1 0      x y x y 0,5

2 1 0 2 1       x y x y 0,5

Thay vào phương trình (2) ta được:    1 2 2 0 2      y y y

y hệ có nghiệm    ; 5; 2 .  x y

0,5