Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 9 năm 2020 - 2021 sở GDĐT Phú Yên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH PHÚ YÊN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 9 THCS, NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 30/3/2021 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

----------- Câu 1.(5,00 điểm)

a) Chứng minh rằng: 3 3 5 2 13 5 2 13 1    . b) Biết đa thức 4 3 2 4 6 4 x x px qx r    chia hết cho đa thức 3 2 3 9 3 x x x    . Tính giá

trị biểu thức   p q r  .

Câu 2.( 3,50 điểm) Giải hệ phương trình:

5 5 2 2

10 2 4.

xy

x y xy

x y xy xy

            

Câu 3.(2,50 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 5 13 x y   .

Câu 4.(3,00 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau ở D. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của DA với (O) và DA với BC; H là giao điểm của OD với BC.

a) Chứng minh tam giác OAH đồng dạng với tam giác ODA. b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt (O) tại K (khác A). Chứng minh rằng E, H, K thẳng hàng.

Câu 5.(3,00 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3 3 P x y   với 2 2 1 1 1 1 1 1 0, 0, x y xy x y x xy y             

Câu 6.( 3,00 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có H là trực tâm, (I) là đường tròn nội tiếp. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (I) với BC, CA, AB. Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên EF. a) Chứng minh rằng   FKB EKC  . b) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của HB, HC với EF. Chứng minh đẳng thức: EK.FP = FK .EQ. c) Chứng minh rằng KD là phân giác của  HKI . ---------Hết---------

Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:………………………………………;Số báo danh:…………………….....… Chữ kí giám thị 1:……….………………..;Chữ kí giám thị 2:………..………………………...

2. Đáp án và thang điểm

ĐỀ CHÍNH THỨC

CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 1 5,00 đ a) Chứng minh rằng: 3 3 5 2 13 5 2 13 1 A     .

2,50 đ

Ta thấy:   3 3 3 10 9 5 2 13 5 2 13 10 9 A A       

1,00 đ

   2 1 10 0 A A A      .

0,50 đ

Vì

2 2 1 39 10 0 2 4 A A A            

nên suy ra 1 0 1. A A   

1,00 đ

b) Biết đa thức 4 3 2 4 6 4 x x px qx r     chia hết cho đa thức

3 2 3 9 3 x x x   . Tính giá trị biểu thức   Q p q r   .

2,50 đ

Giả sử 4 3 2 4 6 4 x x px qx r        3 2 3 9 3 x a x x x     

0,50 đ

      4 3 2 3 3 9 9 3 3 . x a x a x a x a        

0,50 đ

Đồng nhất các hệ số cùng bậc hai vế, ta được:

4 3 1

6 3 9 2

4 9 3 3

3 3.

a a

p a p

q a q

r a r

                         

1,00 đ

Suy ra   15. p q r  

0,50 đ 2 Giải hệ phương trình:

5 5 2 2

10 2 4.

xy

x y xy

x y xy xy

            

3,50 đ

Điều kiện 0,2 0 xy x y xy     . 0,25 đ

Đặt   , 2 , 0 u xy v x y xy u v      , hệ phương trình đã cho trở thành

5 5 (1) 2

10 4 (2).

u

v

v u

      

0,50 đ

Từ 10 (2) 4 v u    hay 4 10 u v u

  . Thay vào (1) ta được

0,50 đ

 

2 2 5 5 10 25 0 5 0 5 2. 2 4 10 u u u u u u v u              

1,00 đ

Ta được hệ phương trình: 5 5

2 2 2 7

xy xy

x y xy x y

             

0,50 đ

  2

1

5 7 2 5 2 7 5 0

5 7 2 7 2

2 2

x

y x x x x

y x y x x

y

                                  

    

.

0,50 đ