Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 9 năm 2020 - 2021 sở GDĐT Đắk Lắk

GV: Nguyễn Dương Hải GV: Nguyễn Dương Hải GV: Nguyễn Dương Hải ––– TTTH HHC CCSSS N NNggguuuyyyễễễnnn C CChhhííí TTThhhaaannnhhh ––– BMT BMT BMT ––– Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) tttrrraaannnggg 111

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN: TOÁN LỚP 9 – THCS Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 30/3/2021

Bài 1: (4 điểm)

1) Cho biểu thức 9 2 5 1 2 1 2 x x A x x x x         . với 0 x  và 4 x 

Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho biểu thức A nhận giá trị nguyên 2) Cho phương trình   2 2 3 0 x m x m     với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x sao cho 2 2 1 2 9 x x  

Bài 2: (4 điểm) 1) Cho parabol 

2 : P y x  và đường thẳng : d y x b   . Tìm b để đường thẳng  d

cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt , A B sao cho 13

2 OI  (với I là trung điểm của

AB ). 2) Giải phương trình      

2 2 1 1 3 15 2 1 x x x x     

Bài 3: (4 điểm) 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương   ;x y thỏa mãn: 2 2 3 2 6 0 x xy y     2) Cho , , x y z là các số nguyên đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:

      5 5 5 x y y z z x      chia hết cho     5 x y y z z x   

Bài 4: (4 điểm) Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF của ABC cắt nhau tại H. 1) Chứng minh AF AB AE AC    2) Chứng minh DH là tia phân giác của  EDF 3) Giả sử  0 60 ACB  . Chứng minh 2 3 EF BF CF    .

Bài 5: (2 điểm) Cho tứ giác ABCD có   0 0 60 , 120 BAD BCD   tia phân giác của  BAD cắt BD tại E. Tia phân giác của  BCD cắt BD tại F. Chứng minh rằng:

1 1 1 1 3 1 AB BC CD DA AE CF     

Bài 6: (2 điểm) Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn 2 1 x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức:

2 2

2 2 1 1 3 4

x y P x y xy    

-------------------- Hết --------------------

GV: Nguyễn Dương Hải GV: Nguyễn Dương Hải GV: Nguyễn Dương Hải ––– TTTH HHC CCSSS N NNggguuuyyyễễễnnn C CChhhííí TTThhhaaannnhhh ––– BMT BMT BMT ––– Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) tttrrraaannnggg 222

BÀI GIẢI

Bài 1: (4 điểm)

1)        

9 2 5 2 1 1 9 2 5 1 2 1 2 1 2

x x x x x x A x x x x x x

                 

     

    

  1 2 2 9 2 10 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

x x x x x x x x x x x x x x x x x x

                       

Do đó A nhận giá trị nguyên với x nguyên khi 2 x  Ư   2 1; 2  

    1; 3; 0; 4 1; 9; 0;16 x x     (TMĐK) 2) Phương trình có hai nghiệm phân biệt     2 2 2 0 2 3 4 0 4 8 9 0 4 1 8 0 m m m m m              luôn đúng với mọi m

Theo Vi ét, ta có: 1 2

1 2

2 3 x x m

x x m

      

Khi đó       2 2 2 2 1 2 1 2 1 2

0 9 2 9 2 3 2 9 2 5 0 5 2

m x x x x x x m m m m m

                  

Bài 2: (4 điểm) 1) Phương trình hoành độ giao điểm của  d và  P là  2 2 0 * x x b x x b       Đường thẳng  d cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt , A B  *  có hai nghiệm phân

biệt 1 0 1 4 0 4 b b     

Theo Vi ét, ta có: 1 A B

A B

x x x x b      

Vì I là trung điểm AB, nên có:

 

2 2 2

1 2 2

2 1 2 2 2 2 2

A B I

A B A B A B A B I

x x x

x x x x y y x x b y

               

Do đó

2 2 2 2 1 1 2 13 2 2 2 I I b OI x y                  

    

2 2 3 2 2 1 13 6 0 3 2 0 2 2 2

b l b b b b b b b n

                Vậy 2 b  2)      

2 2 4 3 2 1 1 3 15 2 1 4 56 56 12 0 x x x x x x x x           

    4 3 2 3 2 2 10 6 6 60 36 2 20 12 0 x x x x x x x x          

      2 2 2 2 10 6 6 10 6 2 10 6 0 x x x x x x x x          

   2 2 10 6 6 2 0 x x x x      

2 1 2

2 3 4

5 19; 5 19 10 6 0

6 2 0 3 11; 3 11

x x x x

x x x x

         …