Đề thi HSG tỉnh Toán 9 năm học 2020 - 2021 sở GDĐT Quảng Bình

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2020-2021

Khóa ngày 08 tháng 12 năm 2020

Môn thi: TOÁN

SỐ BÁO DANH:……………

LỚP 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề gồm có 01 trang và 05 câu

Câu 1 (2,0 điểm).

a. Rút gọn biểu thức 2 11 3 2 1 1 : 7 2 3 3 2 2 2 x x x A x x x x x

   + + + + = + −    − + + − + + +   

(với 2 x > −và 7) x ≠

b. Giải phương trình 4 4 4 4 4. x x x x + − + − − =

Câu 2 (2,0 điểm).

Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho đường thẳng ) : ( 0) (d y ax b a = + ≠ đi qua điểm (1;4) A và cắt các tia , Ox Oy lần lượt tại B và C (khác O ). a. Viết phương trình đường thẳng ( ) d sao cho biểu thức OA OB OC + + đạt giá trị nhỏ nhất.

b. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức . . OB OC P BC =

Câu 3 (3,0 điểm).

Trong mặt phẳng, cho hai điểm , B C cố định với 2 ( 0) BC a a = > và A thay đổi sao cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của , BC đường thẳng đi qua A vuông góc với

AM cắt các đường phân giác của các góc  AMB và  AMC lần lượt tại P và . Q Gọi D là giao điểm của MP với AB và E là giao điểm của MQ với . AC

a. Giả sử 2 AC AB = , tính số đo góc  BQC .

b. Chứng minh rằng

3 . PD MP QE MQ   =    

c. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACQ và ABP theo .a Câu 4 (1,0 điểm).

Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn 2. a b c + + =

Chứng minh rằng ( ) ( ) ( )

2 2 2 1 1 1 4 . a b c a b b c c a a b b c c a b c a

  − − − + + +   + + ≤ + +   + + +    

Câu 5 (2,0 điểm).

a. Số nguyên dương n được gọi là số điều hòa nếu tổng các bình phương của các ước dương

của nó (kể cả 1và n) bằng ( ) 2 3 . n + Chứng minh rằng nếu pq (với , p q là các số nguyên tố khác

nhau) là số điều hòa thì 2 pq + là số chính phương.

b. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( ) ,x y thỏa mãn 3 3 2 2 42 . x y x y xy + = + +

-------------HẾT------------

Đáp án Toán 9 năm học 2020-2021 Page 1

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 Khóa ngày 08 tháng 12 năm 2020 Môn thi: TOÁN

LỚP 9 THCS Đáp án này gồm có 05 trang

YÊU CẦU CHUNG * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi câu. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng. * Trong mỗi câu, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. Ở câu 4 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0. * Điểm thành phần của mỗi câu nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm. * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng câu. * Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các câu. Câu Nội dung

1

a. Rút gọn biểu thức

2 11 3 2 1 1 : 7 2 3 3 2 2 2 x x x A x x x x x

   + + + + = + −    − + + − + + +   

(với 2 x > −và 7) x ≠

b. Giải phương trình 4 4 4 4 4. x x x x + − + − − =

2,0 điểm

1a

Đặt 2 2 ( 0, t 3) 2 x t t x t + = > ≠ ⇒ = − 0,25

Khi đó

2 2

2 2 2 2 9 3 1 1 (3 ) 9 3 1 3 : : 3 9 3 9 3 t t t t t t t t t t t t t t t t A     + + − + + + −+     + − =        + − − − −         =

0,25

3( 3) ( 3) 3 . (3 )(3 t) 2( 2) 2( 2) t t t t t t t + − − = = − + + +

0,25

Vậy 3 2 2( 2 2) x A x − + = + +

0,25

1b

Điều kiện: 4 x ≥

Ta có 4 4 4 4 4. x x x x + − + − − =

2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4

( 4 2) ( 4 2) 4

4 2 4 2 4

x x x x

x x

x x

⇔ − + − + + − − − + =

⇔ − + + − − =

⇔ − + + − − =

0,5

Nhận xét 4 2 4 2 4 2 2 4 4 x x x x − + + − − ≥ − + + − − =

Đẳng thức xảy ra khi

( 4 2)(2 4) 0 2 4 0 (Do 4 2 0)

4 2 8

x x x x

x x

− + − − ≥ ⇔ − − ≥ − + >

⇔ − ≤ ⇔ ≤

0,25