Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 9 năm 2020 - 2021 sở GDĐT Nghệ An

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NGHỆ AN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: TOÁN – BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (3,0 điểm).

a) Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để

2 A a 4a 2021    là một số chính phương.

b) Cho đa thức  P x với các hệ số nguyên thỏa mãn    P 2019 .P 2020 2021. 

Chứng minh rằng đa thức  P x 2022  không có nghiệm nguyên.

Câu 2 (6,5 điểm).

a) Giải phương trình

2 3 x 5x 2 2 x 1 x 3.     

b) Giải hệ phương trình  

 

2 2 2

2 3 2 y y x x

1 2

x 1 x

y x x . x

  



        

Câu 3 (1,5 điểm). Cho ba số thực không âm a,b,c thỏa mãn ab bc ca 1.    Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

2 2 2 b c 3. a P a b c abc     

Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC có D,E,F lần lượt là chân các đường cao kẻ từ ba

đỉnh A,B,C của tam giác. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và K là trung điểm của HC.

a) Chứng minh rằng 4 điểm E,K,D,F cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng đi qua K song song với BC cắt DF tại M. Trên tia DE lấy điểm P sao cho

  MAP BAC  . Chứng minh rằng AMF

AMP

S MF S MP  (Trong đó AMF AMP S ,S lần lượt là diện tích các tam

giác AMF và AMP ).

Câu 5 (3,0 điểm).

a) Cho hình thoi ABCD có AB a.  Gọi 1 2 R ,R lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp

của các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng 1 2 R R 2. a  

b) Cho đa giác đều có 2021 đỉnh, sao cho mỗi đỉnh của đa giác đó chỉ được tô bằng một trong

hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại 3 đỉnh của đa giác đã cho là các đỉnh của một tam

giác cân mà các đỉnh đó được tô cùng một màu.

……………Hết……………

Họ và tên thí sinh………………………………… Số báo danh……………………

Chú ý: Thí sinh không được phép sử dụng máy tính bỏ túi.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NGHỆ AN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: TOÁN – BẢNG B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (3,0 điểm).

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên   x;y thỏa mãn

2 2 x 6x 8 y   .

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n   thì

3 n 5n  chia hết cho 6.

Câu 2 (6,5 điểm).

a) Giải phương trình x 6 6 x x 1.    

b) Giải hệ phương trình

3 3

4 2 y x 5x y 5

2 x y .



 

 





Câu 3 (1,5 điểm). Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện

2 2 x y z 3xy   . Chứng

minh rằng

3 3y 7. x y x y z x 6 8 z 1 z      

Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC có D,E,F lần lượt là chân các đường cao kẻ từ ba

đỉnh A,B,C của tam giác. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và K là trung điểm của HC.

a) Chứng minh rằng 4 điểm E,K,D,F cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng đi qua K song song với BC cắt DF tại M. Trên tia DE lấy điểm P sao cho   MAP BAC  . Chứng minh rằng MA là phân giác  FMP.

Câu 5 (3,0 điểm).

a) Cho hình thoi ABCD có AB a.  Gọi 1 2 R ,R lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp

của các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng

2 2 2 2 1

1 R 1 R . 4 a  

b) Cho đa giác đều có 2021 đỉnh, sao cho mỗi đỉnh của đa giác đó chỉ được tô bằng một trong

hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại 3 đỉnh của đa giác đã cho là các đỉnh của một tam

giác cân mà các đỉnh đó được tô cùng một màu.

……………Hết……………

Họ và tên thí sinh………………………………… Số báo danh……………………

Chú ý: Thí sinh không được phép sử dụng máy tính bỏ túi.