Đề học sinh giỏi tỉnh Toán THCS năm 2020 - 2021 sở GDĐT Kiên Giang

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KIÊN GIANG

--------------

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH THCS

NĂM HỌC 2020-2021 ------------------------------

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19/3/2021 (Đề thi có 02 trang, gồm 05 bài)

Bài 1. (4 điểm)

Câu 1. Cho phương trình: 4 2 2 6 24 0 x mx + + = (m là tham số). Tìm giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm 1 2 3 4 , , , x x x x phân biệt thỏa mãn: 4 4 4 4 1 2 3 4 144 x x x x + + + =

Câu 2. Giải hệ phương trình:

3 2 19

2 3 5 2 5 2 3

x y

x y y x

+ =   − +  + =  + − 

(với 3 , 5 2 x y  −)

Bài 2. (4 điểm)

Câu 1. Cho hai số thực ,a b khác 0 thỏa mãn

2 2

2 1 2 4 4 b a a + + = . Tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2019 S ab = + .

Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy cho Parabol 2 ( ): P y x = −

a) Chứng minh rằng đường thẳng 1): ( 2 1 d y x = + tiếp xúc với parabol. Tìm tọa độ

của tiếp điểm.

b) Xác định tiếp tuyến 2d với parabol nói trên sao cho 2 1 d d ⊥ .

c) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng 1d và 2d .

Bài 3. (4 điểm)

Câu 1. Cho 4 3 2 ( ) f x ax bx cx dx e = + + + + . Xác định các số hữu tỉ , , , , a b c d e sao cho

3 ( ) f( 1) f x x x − − = . Từ đó tính 3 3 3 3 1 2 3 ... S n = + + + + .

Câu 2. Chứng minh rằng với mọi ,x y thì 4 ( )( 2 )( 3 )( 4 ) A x y x y x y x y y = + + + + +

là số chính phương.

Bài 4. (4 điểm)

Câu 1. Cho ba số thực dương thỏa mãn tích của chúng bằng một và tổng của chúng luôn lớn hơn tổng nghịch đảo của chúng. Chứng minh rằng có một và chỉ một trong ba số lớn hơn một.

2

Câu 2. Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm

F sao cho AE AF = . Vẽ AH vuông góc với BF ( H thuộc BF ), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M , N .

a) Chứng minh tứ giác AEMD là hình chữ nhật.

b) Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 AD AM AN = +

Bài 5. (4 điểm) Cho 1 1 ( , ) O R tiếp xúc ngoài với 2 2 ( , ) O R tại A. Kẻ tiếp tuyến chung

ngoài có BC , 1 B ( ) O  , 2 C ( ) O  .

a) Tính BAC .

b) Tính độ dài BC .

c) Gọi D là giao điểm của BA với 2 ( ) O . Chứng minh rằng ba điểm 2 , , C O D thẳng

hàng.

d) Tính độ dài BA.

--------------------HẾT-------------------- Ghi chú:

• Thí sinh không được sử dụng tài liệu. • Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KIÊN GIANG

-------------

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH THCS

NĂM HỌC 2020-2021 ------------------------------

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19/3/2021 (Hướng dẫn chấm có 05 trang)

A. HƯỚNG DẪN CHẤM

- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì vẫn cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định;

- Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm lệch hướng dẫn chấm;

- Sau khi cộng điểm toàn bài thi vẫn giữ nguyên số điểm, không được làm tròn.

B. ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM

Bài Câu Nội dung Biểu điểm

Bài 1. (4 điểm)

1

Cho phương trình: 4 2 2 6 24 0 x mx + + = (m là tham số). Tìm giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm 1 2 3 4 , , , x x x x phân biệt thỏa mãn:

4 4 4 4 1 2 3 4 144 x x x x + + + =

Ta có: 4 2 2 6 24 0 x mx + + = Đặt: 2 t x = , 0 t , phương trình trở thành: 2 2 6 24 0(1) t mt + + =

Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm dương phân biệt 1 2 0 t t   .

Khi đó:

' 2

2

1 2

1 2

6 24 0

4 . 24 0

0 2 6 0

2 m

m t t m m t t m

= −     =         + = − 

−



Với 1 2 ,t t là hai nghiệm của (1) thì

1 1 2 1 3 2 4 2 , , , x t x t x t x t = − = = − = nên ta có:

( ) ( )

2 4 4 4 4 2 2 1 2 3 4 1 2 1 2 1 2

2 2

2 2 2 .

2(24 48) 144 5 5

x x x x t t t t t t

m m m

  + + + = + = + −  

= − =  =  = 

Từ đó suy ra 5 m = −

0.25

0.25

0.5

0.25 0.25 0.25

0.25

2

Giải hệ phương trình:

3 2 19

2 3 5 2 5 2 3

x y

x y y x

+ =   − +  + =  + − 

(với 3 , 5 2 x y  −)

Đặt 0 5

3 2  = +

− m y

x  m + m

1 = 2

 m2 – 2m + 1 = 0 (m – 1)2 = 0  m = 1 …