Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2020 - 2021 phòng GDĐT thị xã Hoài Nhơn - Bình Định

HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021 : 0905.884.951 – 0929.484.951

GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang 1

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THỊ XÃ HOÀI NHƠN

Đề chính thức

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học: 2020 – 2021 Môn: TOÁN – Ngày thi: 04/12/2020 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1. (4.5 điểm) Rút gọn các biểu thức:

a) 5 3 29 12 5 A     .

b) 3 3 70 4901 70 4901 B     .

c) 1 1 1 1 ... 2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100 C         

.

Bài 2. (4.5 điểm)

a) Cho * , a b . Tính giá trị của biểu thức:

2 2 a b A ab

  , biết A có giá trị nguyên.

b) Cho ba số nguyên , , a b c và     M a b b c c a abc      . Chứng minh rằng:

" Nếu  4 a b c   thì 4 M  ".

c) Tìm số abcd biết 3 abcd  và 650 abc bda   .

Bài 3. (4.0 điểm) a) Giải phương trình: 2 4 9 1 3 6 x y x xy    .

b) Cho hai số dương , x y thỏa mãn: 1 x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 1 1 A x y x y

                        

.

Bài 4. (3.0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Gọi I là một điểm trên nửa đường tròn tâm O ( I khác A và B ). Vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc với AB tại H . Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn tâm I , tiếp xúc với đường tròn tâm I lần lượt tại C và D . a) Chứng minh , , C I D thẳng hàng.

b) Chứng minh

2 . 4 CD AC BD  .

Bài 5. (4.0 điểm) a) Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD ( D thuộc BC ) sao cho BD a  và CD b  (với a b  ). Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt tia BC tại M . Tính MA theo a và b . b) Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính 2 AB R  và M là một điểm thuộc nửa đường tròn (khác A và B ). Tiếp tuyến của  O tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của  O lần

lượt tại các điểm C và D . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM .

----------  HẾT  ----------

HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021 : 0905.884.951 – 0929.484.951

GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang 2

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – HSG TOÁN 9 THỊ XÃ HOÀI NHƠN – 2021

Bài 1. (4.5 điểm) Rút gọn các biểu thức:

a) 5 3 29 12 5 A     .

b) 3 3 70 4901 70 4901 B     .

c) 1 1 1 1 ... 2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100 C         

.

a) Ta có:  

2 5 3 29 12 5 5 3 2 5 3 5 3 2 5 3 A            

 

2 5 5 1 5 5 1 1      .

b) Ta có:     3 3 3 3 140 3 70 4901 70 4901 . 70 4901 70 4901 B       

   3 3 2 3 140 0 125 3 15 0 5 5 28 0 B B B B B B B              

 

2 2

5 5 0

5 87 5 28 0 0 2 4

B B

B B B

                           

vô nghiệm

.

Vậy 5 B .

c) Ta có:

   

1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 . 1 1

n n n n n n n n n n n n n n

            

.

Áp dụng ta được: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 ... 10 1 2 2 3 3 4 98 99 99 100 C             .

Bài 2. (4.5 điểm)

a) Cho * , a b . Tính giá trị của biểu thức:

2 2 a b A ab

  , biết A có giá trị nguyên.

b) Cho ba số nguyên , , a b c và     M a b b c c a abc      . Chứng minh rằng:

" Nếu  4 a b c   thì 4 M  ".

c) Tìm số abcd biết 3 abcd  và 650 abc bda   .

a) Đặt   , d a b ưcln , suy ra: . . a d m b d n

  

; với   , 1 m n  và * , , m n d .

Khi đó

2 2 2 2 2 2

2 . . . . . d m d n m n A d m n m n     .

Vì A có giá trị nguyên nên

2 2 2 2 2

2 2 2 . m n m n m m n m n

m n n m n

        

  

 

, mà   , 1 m n  m n n m

 

  m n   .

Vậy

2 2 2

2 2 2 . m n m A m n m     .

b) Ta có:     M a b b c c a abc     

   2 a b c c ab bc ca c abc      