Đề chọn HSG Toán 9 vòng 2 năm 2020 - 2021 phòng GDĐT Thường Tín - Hà Nội

⋆⋆⋆⋆⋆Newthink - Newlife ⋆⋆⋆⋆⋆ ∗∗∗∗AMS∗∗∗∗

UBND HUYỆN THƯỜNG TÍN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Ngày thi 01/12/2020 Đềthi gồm có 01 trang

ĐỀTHI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG II Năm học: 2020 −2021 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1. (4,0 điểm)

1. Cho P = 1 + 2x + √x −1

1 −x −2x√x −√x + x

1 −x√x

· x −√x 2√x −1.

Rút gọn P và chứng minh P > 2

3.

2. Tính giá trịbiểu thức A = x2 + √

x4 + x + 1 với x = 1

2

r√

2 + 1

8 − √

2 8 .

Bài 2. (4,0 điểm)

1. Cho x, y, z là các sốnguyên thỏa mãn (x −y) (y −z) (z −x) = x + y + z. Chứng minh rằng x + y + z chia hết cho 27.

2. Tìm các sốnguyên x, y thỏa mãn 2x3 + 2x2y + x2 + 2xy = x + 10.

Bài 3. (4,0 điểm)

1. Tìm tất cảcác cặp sốnguyên tố(p, q) thỏa mãn p2 + pq + q2 là sốchính phương.

2. Cho sốnguyên tốp và hai sốnguyên dương x, y thỏa mãn 4x2 −3xy −y2 −p (3x + 2y) = 2p2. Chứng minh rằng 5x −1 là sốchính phương.

Bài 4. (7,0 điểm) Cho một điểm C di động trên đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, vẽCH vuông góc với AB tại H.

1. VẽCM song song với BI (M thuộc AI); lấy điểm F thuộc AB sao cho AC = AF. Tính [ CMF.

2. P thuộc tia đối của tia AC sao cho AP = AC; Q là trung điểm của HB. Chứng minh rằng PH vuông góc với CQ.

3. K tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHC; CK cắt AB tại E. Tìm vịtrí của C trên cung AB đểdiện tích tam giác CEF đạt giá trịlớn nhất.

4. Chứng minh rằng MH, BI, CF đồng quy.

Bài 5. (1,0 điểm) Tìm k ∈Z+ thỏa mãn r

1 + 1

12 + 1

22 +

r

1 + 1

22 + 1

32 + · · · +

s

1 + 1

k2 + 1

(k + 1)2 = 20202 −1

2020 .

1

-------------------- HẾT --------------------