Đề thi HSG Toán 9 cấp tỉnh năm học 2019 - 2020 sở GDĐT Quảng Nam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn thi : Toán Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 10/6/2020

Câu 1. (4,0 điểm)

a) Cho hai số thực dương phân biệt , . a b Xét hai biểu thức , a b a b A

a b a b + − = + − +

2 2

2 2 a b B a b + =  − Rút gọn biểu thức A và tính B theo A.

b) Cho phương trình 2 2 3( 1) 2 7 4 0 x m x m m − + + + −= với m là tham số. Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt sao cho bình phương của một nghiệm bằng ba lần nghiệm còn lại. Câu 2. (4,0 điểm)

a) Giải phương trình 2 4 2 10 5 2 1 0. x x x − − − −=

b) Giải hệ phương trình

3 3 2 2

2 2 2 2 2 3 3 0

4 8 8 4 0

y x x y xy

x y x y y x y

 − + − =  − − − + + = 

Câu 3. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 2AB, H là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC, D là trung điểm của HC. a) Chứng minh tam giác ADH vuông cân. b) Gọi F là trung điểm AC, dựng hình vuông ABEF. Chứng minh tứ giác ABED nội tiếp trong đường tròn và tính diện tích tam giác ADE khi AB = 2 cm. Câu 4. (4,5 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2a, H là điểm nằm trên đoạn thẳng OA sao cho HA = 2HO. Đường thẳng vuông góc với AB tại H cắt nửa đường tròn đã cho tại C. Hạ HP vuông góc với AC tại P, HQ vuông góc với BC tại Q.

a) Chứng minh OC vuông góc với PQ. b) Gọi I là giao điểm của OC và PQ. Tính độ dài đoạn thẳng CI theo a. c) Lấy điểm M trên tia đối của tia BA (M khác B), đường thẳng MC cắt nửa đường tròn đã cho tại điểm thứ hai là D. Hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác OAC và OBD cắt nhau tại điểm thứ hai là K, gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh bốn điểm A, B, E, K cùng nằm trên một đường tròn và KO vuông góc với KE.

Câu 5. (5,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau có dạng COVID19, n = biết n chia hết

cho 7 và số COVID là số chính phương chia hết cho 5.

b) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn 2 2 2 2 a b ab ab a b + + = + . Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức 1 1 1 1 a b A a b b a = + + + 

---------- HẾT ----------

(Giám thị không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: ……………………………… Phòng thi: ……… Số báo danh: …….......

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 1/6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học 2019 - 2020

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN

Môn: TOÁN (Hướng dẫn chấm này có 06 trang) Câu Đáp án Điểm Câu 1 (4,5 đ) a) Cho hai số thực dương phân biệt , . a b Xét hai biểu thức , a b a b A

a b a b + − = + − +

2 2

2 2 a b B a b + =  −

Rút gọn biểu thức A và tính B theo A.

2,0

Ta có ( ) ( ) ( )

2 2

2 a b a b a b a b a b A a b a b a b a b

+ + − + + − = + = = − − − +

(Đúng bước 1 được 0,5 điểm; đúng bước 2 được 0,25 điểm)

0,75

( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2

2 2 2 a b a b a b B a b a b a b

+ + − + = = − + −

0,5

1 2

a b a b a b a b + −   = +   − +  

0,25

2 1 2 4 2 2 4 A A A A +   = + =    

0,5

b) Cho phương trình 2 2 3( 1) 2 7 4 0 x m x m m − + + + −= với m là tham số. Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt sao cho bình phương của một nghiệm bằng ba lần nghiệm còn lại.

2,0

2 2 2 2 9( 1) 4.1.(2 7 4) 10 25 ( 5) m m m m m m = + − + − = − + = −

(Chỉ cần 2 10 25 m m = − + được 0,25 điểm) 0,25

+ Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi 0  0,25

2 ( 5) 0 5. m m  −   0,25 + Với điều kiện 5, m pt đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

1 2 3( 1) ( 5) 3( 1) ( 5) 4, 2 1 2 2 m m m m x m x m + − − + + − = = + = = − 0,25

+ Theo đề bài ta có:

2 2

2 2 ( 4) 3(2 1) 2 19 0 (VN)

(2 1) 3( 4) 4 7 11 0 (*)

m m m m

m m m m

  + = − + + =    − = + − − =    

(Đúng mỗi bước được 0,25 điểm)

0, 5

(*) 1 m  =− hoặc 11

4 m= (thỏa) 0,5

Vậy có hai giá trị cần tìm là 11 1, . 7 m m =− =