Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 9 năm học 2019 - 2020 sở GDĐT Bình Dương

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn thi: TOÁN - Lớp: 9 THCS Ngày thi: 15 tháng 05 năm 2020 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian phát đề) ------------------------------------------

Bài 1: (4 điểm.)

a) Cho a =

√

2 −1

2 ; b =

√

2 + 1

2 Tính a7 + b7.

b) Giải phương trình sau với x ∈R √

x2 −3x + 2 + √

x + 3 = √

x2 + 2x −3 + √

x −2.

Bài 2: (5 điểm)

a) Cho a = n3 + 2n và b = n4 + 3n2 + 1. Với mỗi n là sốtựnhiên, hãy tìm ước chung lớn nhất của a và b.

b) Chứng minh rằng với mọi sốnguyên dương x, y thì

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là sốchính phương

Bài 3: (5 điểm)

a) Tìm tất cảcác sốnguyên dương m sao cho m2 + 12 là sốchính phương

b) Cho ba sốthực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0 và |a| ≤1, |b| ≤1, |c| ≤1 Chứng minh rằng a4 + b6 + c8 ≤2.

Bài 4: (2 điểm) Trên 3 canh AB, BC, CA của tam giác ABC, lần lượt lấy các điểm M, N, P

sao cho AM

MB = BN

NC = CP

PA = k. Gọi SMNP, SABC lần lượt là diện tích tam giác MNP và tam

giác ABC Tìm k đểSMNP = 3

8SABC

Bài 5: (4 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R (R là một độdài cho trước). Gọi C, D là hai điểm trên nửa đường tròn đó sao cho C thuộc cung d AD và \ COD = 120◦. Gọi giao điểm của hai dây AD và BC là E, giao điểm của các đường thẳng AC và BD là F.

a) Chứng minh rằng 4 điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn và tính bán kính của đường tròn đó theo R.

b) Tìm giá trịlớn nhât của diện tích tam giác FAB theo R khi C, D thay đổi nhưng vẫn thỏa mãn giảthiết bài toán.

Biên soạn: Long Nguyễn

-------------------- HẾT --------------------

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC