Đề khảo sát đội tuyển HSG Toán 9 năm 2019 - 2020 phòng GDĐT Sầm Sơn - Thanh Hoá

UBND THÀNH PHỐ SẦM SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG

CẤP TỈNH NĂM HỌC 2019-2020

MÔN: TOÁN Ngày khảo sát: 06/01/2020 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: (4điểm)

a) Cho biểu thức

  



  



− +

+  

  



+ + − −

+ = a ab b

b a b ab a

a

b a

b a P

2 2

2 2 . 2 2 2 2

) ( 2 3 3

3 3

Tìm điều kiện của a và b để biểu thức P xác định và rút gọn P.

b) Biết: a= 1+ 2

3 và b= 4

3 2 1 − . Tính giá trị của biểu thức P.

Câu 2: (4điểm)

a) Giải hệ phương trình: {(?−1)√14 −?+ √(?−2)(11 + 2?−?2) = 12

?3 −3?2 −5?+ 6 = 2√?−4

b) x1,x2 là 2 nghiệm của phương trình: 2x2- (3a -1)x -2 = 0 ,Tìm giả trị nhỏ nhất của

biểu thức: P= ( )

2 2 1 2 1 2

1 2

3 1 1 2 2 2 x x x x x x   − − + + −    

Câu 3: (4điểm) a)Tìm các số nguyên dương x, y ,z với z 6 thỏa mãn phương trình sau:

x2 + y2 - 4x - 2y - 7z - 2 = 0 b) Cho số nguyên dương n thỏa mãn 2 + 2 1 12 2 + n là số nguyên. Chứng minh 2 + 2 1 12 2 + n là số chính phương. Câu 4: (6điểm) Cho đường tròn (O, R), và dây cung BC cố định (BC < 2R). Điểm A di động trên (O;R) sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn, AD là đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC. a) Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài của góc BHC cắt AB, AC lần lượt tại các điểm M,N. Chứng minh ∆AMN là tam giác cân b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D trên các đường thẳng BH, CH. Chứng minh: OA EF. c) Đường tròn ngoại tiếp ∆ AMN cắt đường phân giác trong của góc BAC tại K. Chứng minh đường thẳng HK luôn đi qua điểm cố định. Câu5( 2 điểm) Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn: abc = 1. Chứng minh bất đẳng thức :

5 2 5 2 5 2 1 1 1

6 6 6 a b ab b c bc c a ca + + + + + + + + + + +

 1.

Họ và tên: …………………………………...…………………… SBD: …………..

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM

MÔN: TOÁN CÂU NỘI DUNG TRÌNH BÀY ĐIỂM

Câu1: 4điểm

a- (2 điểm):

  



  



− +

+  

  



+ + − −

+ = a ab b

b a

b ab a

a

b a

b a P

2 2

2 2 . 2 2 2 2

) ( 2 3 3

3 3

Điều kiện để biểu thức P xác định là:







   =

  



  





 +

 + +

 −





b a b a

ab b

b ab a

b a

b

a

2 0 0

0 2 2

0 2 2

0 2 2

0 2

0

3 3

3

3

( )( )

( )( ) ( )  

  

 − +

+ − +  

  



+ + −

− − + = a a b b

b ab a b a b ab a b a

b a a b a P

2 2

2 2 2 . 2 2 2

) 2 ( ) ( 2

( )( ) b

ab b ab a

b ab a b a

b ab a P

2

2 2 2 . 2 2 2

2 2 − + −

+ + −

+ + =

( )

b

b a

b

b a

b a P

2

2

2

2 . 2

1

2 − = −

− =

b- (2 điểm):

Ta có: ab = a b 4

1 2 8 1 2

3 1 2

3 1 2 1 = = =  

  

−  

  

+

Do đó: P =

b

b a

2

2 − = 3 1 1 2 1 4 1 2

2 + = − = − = − a a b a

0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 1,0

Câu 2 4điểm

2b) (2,0 điểm) Giải hệ:

2

3 2 ( 1) 14 ( 2)(11 2 ) 12

3 5 6 2 4

x y y x x

x x x y

 − − + − + − = 

− − + = − 

Theo Cô si ta có

2

2 2

( 1) 14 ( 1) 14 (1) 2

2 11 2 ( 2)(11 2 ) (2) 2

x y x y

y x x y x x

− + − − − 

− + + − − + − 

Từ (1) và (2) ta có :(

2 ( 1) 14 ( 2)(11 2 12 x y y x x − − + − + − 

Dấu bằng xảy ra khi 2 1 0

2 11 2

x

y x x

−  − = + − 

Thay vào phương trình thứ 2 của hệ ta được:

3 2 2

2

2

3 5 4 2(1 9 2 ) 0 2( 2) ( 4)( 1 ) 0 1 9 2

x x x x x x x x x

x x

− − + + − + − = +  − + −+ = + + −

Do 2

2 2( 2) 1 ( 1 ) 1 9 2

x x x x o x x

+  + −+  + + −

0,5 0,5 0,5 0,5