Đề thi HSG Toán 9 cấp thành phố năm học 2019 - 2020 sở GDĐT Hà Nội

LỜI GIẢI ĐỀTHI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 THÀNH PHỐHÀ NỘI 2020

Võ Quốc Bá Cẩn

1. Đềthi

Bài 1 (5.0 điểm).

a) Giải phương trình:

.4x C 2/ p

x2 C 2x C 5 D .x2 C 2x C 2/ p

4x C 5:

b) Cho bốn sốthực dương a; b; c; d thỏa mãn a3 C b3 C c3 D 3d 3; b5 C c5 C d 5 D 3a5

và c7 C d 7 C a7 D 3b7: Chứng minh rằng a D b D c D d:

Bài 2 (5.0 điểm).

a) Chứng minh rằng với mọi sốtựnhiên n thì n2 C 3n C 11 không chia hết cho 49:

b) Tìm tất cảcác bộba sốnguyên dương .x; y; p/ với p là sốnguyên tốthỏa mãn

x2 C p2y2 D 6.x C 2p/:

Bài 3 (3.0 điểm).

a) Cho hai sốthực dương x; y thỏa mãn 5.x y/2 x2 C y2: Chứng minh rằng

1 2 x

y 2:

b) Cho ba sốthực dương x; y; z thay đổi thỏa mãn điều kiện 5.xCyCz/2 14.x2Cy2Cz2/: Tìm giá trịlớn nhất và giá trịnhỏnhất của biểu thức

P D 2x C z

x C 2z :

Bài 4 (6.0 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < BC; ngoại tiếp đường tròn tâm I: Hình chiếu vuông góc của điểm I trên các cạnh AB; AC theo thứtựlà M; N và hình chiếu vuông góc của điểm B trên cạnh AC là Q: Gọi D là điểm đối xứng của điểm A qua điểm Q; P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD và R là giao điểm của hai đường thẳng MN; BQ: Chứng minh rằng

a) Các tam giác BMR và BIP đồng dạng.

b) Đường thẳng PR song song với đường thẳng AC:

c) Đường thẳng MN đi qua trung điểm của đoạn thẳng AP:

1

2 Lời giải đềthi học sinh giỏi thành phốlớp 9 thành phốHà Nội 2020

Bài 5 (1.0 điểm). Có 15 hộp rỗng. Mỗi bước, người ta chọn một sốhộp rồi bỏvào mỗi hộp một sốviên bi sao cho sốviên bi bỏvào mỗi hộp là một lũy thừa của 2 và trong mỗi bước không có hai hộp nào có sốbi được bỏvào giống nhau. Tìm sốnguyên dương k nhỏnhất sao cho sau khi thực hiện k bước, tất cảcác hộp đều có sốbi giống nhau.

2. Lời giải và bình luận các bài toán

Bài 1 (5.0 điểm).

a) Giải phương trình:

.4x C 2/ p

x2 C 2x C 5 D .x2 C 2x C 2/ p

4x C 5:

b) Cho bốn sốthực dương a; b; c; d thỏa mãn a3 Cb3 Cc3 D 3d 3; b5 Cc5 Cd 5 D 3a5

và c7 C d 7 C a7 D 3b7: Chứng minh rằng a D b D c D d:

Lời giải. a) Điều kiện: x 5

4: Đặt a D p

4x C 5 và b D p

x2 C 2x C 5 .a; b 0/: Ta có

4x C 2 D a2 3; x2 C 2x C 2 D b2 3:

Phương trình đã cho có thểđược viết lại thành .a2 3/b D .b2 3/a; hay

.a b/.ab C 3/ D 0:

Do ab C 3 > 0 nên từđây, ta có a D b hay

x2 C 2x C 5 D 4x C 2:

Giải phương trình này, ta được x 2 f0; 2g: Thửlại, ta thấy thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S D f0; 2g:

b) Trong ba sốb; d; a có một sốhoặc là sốlớn nhất, hoặc là sốnhỏnhất trong bốn sốđã cho. Xét các trường hợp sau.

Trường hợp 1: b là sốlớn nhất hoặc là sốnhỏnhất trong a; b; c; d:

ı Nếu b là sốlớn nhất trong a; b; c; d thì ta có c7; d 7; a7 b7 nên

c7 C d 7 C a7 b7 C b7 C b7 D 3b7:

Mặt khác, theo giảthiết thì dấu đẳng thức phải xảy ra. Do đó c D d D a D b: ı Nếu b là sốnhỏnhất trong a; b; c; d thì ta có c7; d 7; a7 b7 nên

c7 C d 7 C a7 b7 C b7 C b7 D 3b7:

Mặt khác, theo giảthiết thì dấu đẳng thức phải xảy ra. Do đó c D d D a D b:

Trường hợp 2: d là sốlớn nhất hoặc là sốnhỏnhất trong a; b; c; d: Chứng minh tương tựnhư trường hợp trên, ta cũng có a D b D c D d:

Trường hợp 3: a là sốlớn nhất hoặc là sốnhỏnhất trong a; b; c; d: Chứng minh tương tựtrường hợp 1, ta cũng có a D b D c D d:

Vậy, trong mọi trường hợp, ta luôn có a D b D c D d: