Đề thi HSG Toán 9 năm 2019 - 2020 phòng GDĐT thị xã Sa Pa - Lào Cai

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THỊ XÃ SA PA

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ

LỚP 9, NĂM HỌC 2019 - 2020

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi gồm có 01 trang,05 câu)

Ngày thi: 04/01/2020

Câu 1. (2,0 điểm): a) Tìm số tự nhiên n để A = n2012 + n2002 + 1 là số nguyên tố.

b) Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn 2 2 2 2 2 + = + + y xy y x . Câu 2. (4,0 điểm):

Cho biểu thức: 2 1 4 . 3 1 1 x x P x x x +   = −   + +  

a) Rút gọn P;

b) Tìm các giá trị của x để 8 P 9 = ;

c) Tìm giá trị lớn nhất của P, giá trị nhỏ nhất của P.

Câu 3. (4,0 điểm): Cho hệ phương trình với tham số m: ( ) ( )

m 1 x y 3m 4

x m 1 y m

− + = − + − = 

a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m; b) Tìm các giá trị nguyên của m để nghiệm của hệ phương trình là các số nguyên; c) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm dương duy nhất. Câu 4. (4,0 điểm):

4.1: Cho các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 671.

Chứng minh rằng: 2 2 2 1 2013 2013 2013 x y z x yz y zx z xy x y z + + ≥ − + − + − + + +

4.2: Cho đường thẳng (d) có phương trình: 2(1 ) 2 . 2 2 m y x m m − = + − − (với m tham số, m 2 ≠).

a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua;

b) Xác định giá trị tham số m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất.

Câu 5. (6,0 điểm): Đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn tâm O khác A,B. Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB(P∈ AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q∈ AE).

a) Chứng minh rằng: bốn điểm A,E,M,O cùng thuộc một đường tròn và tứ giác APMQ là hình chữ nhật;

b) Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O,I,E thẳng hàng; c) Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh ∆EAO đồng dạng với ∆ MPB và K là trung điểm của MP;

d) Đặt AP = x. Tính MP theo x và R.Tìm vị trí của điểm M trên đường tròn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất.

--------Hết-------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

1

A. Hướng dẫn chấm: - Cho điểm lẻ tới 0,25 điểm. - Tổng điểm toàn bài không làm tròn. - Vẫn cho điểm tối đa nếu học sinh làm chính xác bằng cách khác. B. Đáp án:

PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ SA PA

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ

LỚP 9, NĂM HỌC 2019 – 2020

Môn thi: Toán HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm, thang điểm gồm có 06 trang)

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

Câu 1 (2 đ)

1.a) (1 đ)

Xét 0 n = thì A = 1 không phải nguyên tố; 1 n = thì A = 3

nguyên tố.

0,25

Xét n > 1 có A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + 1

= n2[(n3)670 – 1] + n.[(n3)667 – 1] + (n2 + n + 1)

0,25

Mà [(n3)670 – 1] chia hết cho n3 - 1, suy ra (n3)670 – 1 chia hết

cho n2 + n + 1

Tương tự: (n3)667 – 1 chia hết cho n2 + n + 1

0,25

Do đó A chia hết cho n2 + n + 1 > 1 nên A là hợp số khi n > 1

Vậy số tự nhiên cần tìm n = 1.

0,25

1.b) (1 đ)

Ta có:

( )

( ) ( )( )

2 2 2 2

2 x 2y 2xy y 2 x y y y 2

x y 1 y 2 y

+ + = + ⇔ + = − + +

⇔ + = + −

0,25

Do ( ) 2 x y 0 x, y + ≥ ∀ nên ( )( ) 2 1 0 2 1 ≤ ≤ − ⇔ ≥ − + y y y .

Suy ra { } y 1; 0; 1; 2 ∈−

0,25

Với 1 − = y , PT trở thành Z x x x ∈ = ⇔ = + − 1 0 1 2 2 Với 0 = y , PT trở thành Z x x ∉ ⇒ = − 0 2 2

0,25

Với 1 = y , PT trở thành Z x x x ∉ ⇒ = − + 0 1 2 2 Với 2 = y , PT trở thành Z x x x ∈ − = ⇔ = + + 2 0 4 4 2 . Vậy có 2 cặp ( ) y x; thỏa mãn đề bài ( ) ( ) 1; 1 ; 2;2 − − .

0,25

Câu 2 (4 đ)

2.a) (2 đ)

Tìm được ĐK: 0 x ≥ 2 1 4 . 3 ( 1)( 1) 1

  + −   + − + +  

x x x x x x

0,25 0,25

2 ( 1) 4 . 3 ( 1)( 1)

  + − − + =   + − +  

x x x x x x x

0,5

1 4 . 3 ( 1)( 1) + = + − + x x x x x

0,5