Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2019 - 2020 phòng GDĐT Bình Xuyên - Vĩnh Phúc

PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9, NĂM HỌC 2019-2020

ĐỀ THI MÔN:TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1(2,0 điểm).

Cho số thực < ≠ 3 x 4 và biểu thức

3 2 5 9 3 A= : . 2 2 1 2

  + + − − − − +     − + − −  

x x x x x x x x x x

a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. Câu 2(1,0 điểm).

Cho góc nhọn α thoả mãn 2 tan = 3 α .

Hãy tính giá trị biểu thức ( ) 4 2 2

4 2 2 2

cos in . cos 1 B= . 3 2.cos 2 in . os sin 5

+ +

+ −

s

s c

α α α

α α α α

Câu 3(1,0 điểm).

Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ) ,x y thoả mãn 2 2 2 2 4 4 18 16 39 + + = + + − x xy y xy x y

Câu 4(1,0 điểm).

Cho số k thoả mãn 1 1 1 1 1 1 1 1 ... . ... 1.2 3.4 5.6 2019.2020 1011 1012 1013 2020   + + + + = + + + +     k

Chứng minh rằng: . ∈ k

Câu 5(1,0 điểm).

Giải phương trình 1926 1954 1971 23. − + − + − = x x x Câu 6(1,0 điểm).

Cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H. Trên đoạn HB lấy M và trên đoạn HC lấy N sao cho   AMC ANB 90 = = °. Chứng minh rằng AM = AN. Câu 7(1,0 điểm).

Cho tam giác ABC nhọn. Gọi D là trung điểm của BC; E là điểm bất kỳ trên cạnh AC. Gọi M là giao điểm của AD với BE. Kẻ đường thẳng CM cắt AB tại F. Chứng minh rằng hai đường thẳng EF và BC song song với nhau. Câu 8(1,0 điểm).

Cho , ,c a b là độ dài các cạnh của một tam giác bất kỳ.

Chứng minh rằng: 3 + + ≥ + − + − + − a b c b c a c a b a b c .

Câu 9(1,0 điểm).

Trong hình vuông cạnh bằng 18 cho 1945 điểm. Chứng minh rằng luôn tồn tại một đường tròn bán kính 1 chứa ít nhất 7 điểm trong số 1945 điểm đã cho.

-----------Hết----------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh:………………………………………………….. Số báo danh:…….…………..............

HDC_HSG Toán 9 Trang 1/4

PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9, NĂM HỌC 2019-2020

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN:TOÁN ( Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) I) Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải với những ý cơ bản, nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định. 2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện với tất cả giám khảo. 3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm. Sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả. 4) Với bài hình học nếu học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó. II) Đáp án và thang điểm: Câu 1 (2,0 điểm).

Cho số thực x thoả mãn < ≠ 3 x 4 và biểu thức

3 2 5 9 3 A= : . 2 2 1 2

  + + − − − − +     − + − −  

x x x x x x x x x x

a) Rút gọn biểu thức A.

Nội dung trình bày Điểm

Với < ≠ 3 x 4 thì

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

3 1 2 2 5 9 2 A= . 3 2 1

+ + − + − + − −

− − +

x x x x x x x

x x x

( ) 4 3 4 5 9 2 = . 2 3

+ + − − + − −

− − −

x x x x x x x x x

0,5

2 2 2 . . 2 3 3

− − = = − − − −

x x x x

x x x x

Vậy, với < ≠ 3 x 4 thì 2 A . 3 = − x x

0,5

Nếu học sinh không nhắc lại điều kiện trước khi rút gọn thì trừ 0,25 điểm.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.

Nội dung trình bày Điểm

Với < ≠ 3 x 4 thì

2 6 6 A 2 3 2 2 3. 4 3. 3 3 3 = = − + ≥ − = − − −

x x x x x x 0,5

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ( )

2 6 2 3 3 3 6(TM). 3 − = ⇔ − = ⇔ = − x x x x

Vậy, biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 3 khi và chỉ khi 6. = x

0,5

Câu 2 (1,0 điểm). Cho góc nhọn α thoả mãn 2 tan = 3 α .